绝密★启用前。
全国卷ⅱ（适用地区：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、重庆、海南）
2024年普通高等学校招生全国统一考试。
理科数学。注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
abcd．
2．已知集合，则中元素的个数为
a．9b．8c．5d．4
3．函数的图像大致为
4．已知向量，满足，，则。
a．4b．3c．2d．0
5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为。
a． b． cd．
6．在中，，，则。
a． b． cd．
7．为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入。
a． b．
c． d．
8．我国数学家陈景润在哥德**猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德**猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是。
abcd．
9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为。
abcd．
10．若在是减函数，则的最大值是。
abcd．
11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则。
ab．0c．2d．50
12．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率。
为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为。
abcd．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为。
14．若满足约束条件则的最大值为。
15．已知，，则。
16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第为选考题，考生根据要求作答。
一）必考题：共60分。
17．（12分）
记为等差数列的前项和，已知，．
1）求的通项公式；
2）求，并求的最小值．
18．（12分）
下图是某地区2024年至2024年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
为了**该地区2024年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2024年至2024年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2024年至2024年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．
1）分别利用这两个模型，求该地区2024年的环境基础设施投资额的**值；
2）你认为用哪个模型得到的**值更可靠？并说明理由．
19．（12分）
设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
1）求的方程；
2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
20．（12分）
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
1）证明：平面；
2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
21．（12分）
已知函数．1）若，证明：当时，；
2）若在只有一个零点，求．
二）选考题：共10分。请考生在第题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为。
为参数）．1）求和的直角坐标方程；
2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数．1）当时，求不等式的解集；
2）若，求的取值范围．
参***：一、选择题。
二、填空题。
三、解答题。
17. (12分)
解：（1）设的公差为d，由题意得。
由得d=2.
所以的通项公式为。
2）由（1）得。
所以当n=4时， 取得最小值，最小值为16.
18.(12分)
解：（1）利用模型①,该地区2024年的环境基础设施投资额的**值为。
(亿元).利用模型②,该地区2024年的环境基础设施投资额的**值为。
(亿元).2）利用模型②得到的**值更可靠。
理由如下：ⅰ）从折线图可以看出，2024年至2024年的数据对应的点没有随机散布在直线上下。这说明利用2024年至2024年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势。
2024年相对2024年的环境基础设施投资额有明显增加，2024年至2024年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2024年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，因此利用模型②得到的**值更可靠。
ⅱ）从计算结果看，相对于2024年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的**值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的**值的增幅比较合理。说明利用模型②得到的**值更可靠。
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分。
19.(12分)
解：（1）由题意得，l的方程为。
设，由得。故。
所以。由题设知，解得（舍去），.
因此l的方程为。
2）由（1）得ab的中点坐标为，所以ab的垂直平分线方程为，即。
设所求圆的圆心坐标为，则。
解得或。因此所求圆的方程为或。
20.(12分)
解：（1）因为，为的中点，所以，且。
连结。因为，所以为等腰直角三角形，且，.
由知。由知平面。
2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系。
由已知得取平面的法向量。
设，则。设平面的法向量为。
由得，可取，所以。由已知得。
所以。解得（舍去），.
所以。又，所以。
所以与平面所成角的正弦值为。
21．（12分）
解析】（1）当时，等价于．
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
2）设函数．
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
i）当时，，没有零点；
ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
若，即，在没有零点；
若，即，在只有一个零点；
若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
解析】（1）曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．
2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程。
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
解析】（1）当时，
可得的解集为．
2）等价于．
而，且当时等号成立．故等价于．
由可得或，所以的取值范围是．
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