2023年江苏省海门中学中考自主招生考试。
数学试题。一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）
1、下列计算正确的是。
ab、cd、
答案：d2、小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
那么，当输入数据是8时，输出的数据是。
abcd、答案：c
3、下面是某同学在一次测验中解答的填空题：
1）若，则。
2）方程的解为．
3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5．
其中答案完全正确的题目个数为。
a．0个b．1个c．2个d．3个。
答案：a4、如图，已知直线的解析式是，并且与轴、轴分别交于a、b两点。一个半径为1.
5的⊙c,圆心c从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着轴向下运动，当⊙c与直线相切时，则该圆运动的时间为。
a.3秒或6秒 b.6秒 c.3秒 d.6秒或16秒。
答案：5、已知，则的值为（ ）
abcd．或1
答案：b6、如图，是⊙o的内接正三角形，弦经过边的中点，且，若⊙o的半径为，则的长为( )
a. b. c. d.
答案：c7、已知函数的图象上有两点，。若且，则与的大小关系是。
a. b. c. d.与的大小不确定。
答案：b二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）
8、计算。答案：
9、已知关于的不等式组无解，则的取值范围是。
答案： 10、一个密码箱的密码，每个数位上的数字都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要位。
答案：411、定义：。现有，则。
答案：412、如图，于，交于点，，则。
答案： 13、在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，把直线沿过点的直线翻折，使与轴上的点重合，折痕与轴交于点，则直线的解析式为。
答案：， 14、已知方程有一根满足，为正整数，则___
答案：3三、解答题（本大题共8题，每题均需要写出详细的解答过程）
15、（本题满分10分）
1)在中， ,的正弦、余弦之间有什么关系？请给出证明过程。（2）已知锐角满足：，，求的值。
解：（1） （2）由，得所以可解得或（舍），易得。
16、（本题满分10分）
解方程： 注：表示实数的整数部分，表示的小数部分，比如）
解：原方程可变为。
即。因，故，于是只可能为0,1,2，且。
当时，；当时，；当时，。
17、（本题满分10分）
已知是半径为1的圆的一条弦，且，以为一边在圆内作正三角形，点为圆上不同于点的一点，且，的延长线交圆于点，求的长。
解：如图，连接oe，oa，ob。设∠cdb = x°,则∵cd = ab = db， ∴bcd = x°。
∠acb = 60°，∴eca = 120°- x°。
∠abo = abd / 2 =（abc +∠cbd）/2 = 60°+180°- 2x）/2=120° -x°，△ace ≌ abo ，ae= oa = 1.
18、阳光公司生产某种产品，每件成本3元，售价4元，年销售量为20万件，为获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是（万元）时，产品的销量是原销量的倍，且与之间满足：
如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费。
1） 试求出年利润（万元）与广告费（万元）的函数关系式，并注明的取值范围；
2） 若，要使利润随广告费的增大而增大，求的取值范围。
解：(1)
2)在中，随的增大而增大。
时，随的增大而增大。
若，要使利润随广告费的增大而增大，则的取值范围为。
19、(1)图(1)是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图(2)、(3)、(4)、(5)的木块。
我们知道，图(1)的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图(2)，(3)，(4)，(5)中木块的顶点数，棱数，面数填入下表：
2)观察上表，请你归纳上述各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系，这种数量关系是。
解：(1)2)顶点数+面数=棱数+2．
20、已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：
解：由韦达定理，有，。于是，对正整数，有。
原式=21、设绝对值小于1的全体实数的集合为s，在s中定义一种运算“”，使得。
1) 证明：结合律成立。
2) 证明：如果a与b在s中，那么也在s中。（说明：可能用到的关系式：即）
1）b)*c=*c==因为此式关于a,b,c对称，所以即得(a*b)*c=a*(b*c)成立，这样就利用对称性减少了一半计算。
2）当-122、如图，对称轴为的抛物线与轴相交于点、.
1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；
2)连结ab，把ab所在的直线平移，使它经过原点o，得到直线l.点p是l上一动点。设以点a、b、o、p为顶点的四边形面积为s，点p的横坐标为，当0＜s≤18时，求的取值范围；
3)在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使△op为直角三角形且op为直角边。若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由。
23.解：（1）∵点b与o（0，0）关于x=3对称，点b坐标为（6，0）.
将点b坐标代入得：
抛物线解析式为2分。
当=3时，顶点a坐标为（3，33分。
说明：可用对称轴为，求值，用顶点式求顶点a坐标。）
2）设直线ab解析式为y=kx+b.
a(3,3),b(6,0), 解得， ∴
直线∥ab且过点o,直线解析式为。
点是上一动点且横坐标为，点坐标为4分。
当在第四象限时（t＞0），12×6×3+×6×
0＜s≤18,0＜9+3≤18,-3＜≤3.
又＞0,0＜≤3.5分。
当在第二象限时（＜0）,作pm⊥轴于m，设对称轴与轴交点为n. 则。
0＜s≤18,0＜-3+9≤18,-3≤＜3.
又＜0,-3≤＜0.6分。
t的取值范围是-3≤＜0或0＜≤3.
3)存在，点坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.9分。
说明：点q坐标答对一个给1分）
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