浙江省余姚中学2023年自主招生考试。
数学试卷。注意事项：1、全卷共20题，满分120分，考试时间90分钟；
2、下列知识可能会用到：（1）若关于的一元二次方程有两个实数根，则。（2）设是直角坐标平面上的两点，则此两点间的距离为：
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每一小题给出四个选项中，有且仅有一个选项是符合题目要求。）
1、若则的值为（ ）
a）1 （b） （c） （d）1或。
2、若是关于的方程的根，则的值为（ ）
a）-2 （b）8 （c）-6 （d）-8
3、方程实根的情况是（ ）
a）仅有三个不同实根（b）仅有两个不同实根（c）仅有一个实根（d）无实根。
4、如图，点c、d是以线段ab为公共弦的两条圆弧的中点，ab=4，点e、f分别是线段cd、ab上的动点，设，则能表示与的函数关系的图象是（ ）
5、已知方程有两个相等实根，则的值为（ ）
a）0 （b） （c）1 （d）2
6、一个容器盛满酒精溶液，第一次倒出10升后，用水加满；第二次倒出6升后，再用水加满，这是容器内的酒精与水的体积之比为7:13，则这个容器的容积为（ ）
a）18 （b）20 （c）24 （d）30
7如图，在中，m是边ab的中点，n是边ac上的点，且，cm与bn交于点k。若的面积为1，则的面积等于（ ）
a）3 （b） （c）4 （d）
8、用三种不同的颜色，将如图所示的四个区域涂色，每种颜色至少用1次，则相邻的区域不涂同一种颜色的概率为（）
a） （b） （c） （d）
二、填空题：（本大题共7题，每小题4分，共28分）
9、在中，ab=ac=10，，则的面积为＿＿
10、在半径为1的⊙o中，ｐ是上的一点，若，则弦ab的长为＿＿
11、如图，将绕点o按逆时针方向旋转至，使点b恰好落在边上。已知，则的长是＿＿
12、已知不等式组的整数解仅有1，则实数的取值范围是＿＿
13、如图，在直角坐标系中，已知点a（-3,0），b（0,4），对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②则第11个三角形的直角顶点的坐标为＿＿
14、已知关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是＿＿
15、若方程至少有一个整数根，则正整数的值为＿＿
三、解答题：（本大题共52分）
16、（本小题满分10分）如图，正方形abcd的中心为o，p为正方形内一点，且。
1)求证：;（2）若正方形的边长为，求op的长。
17、（本小题满分10分）已知关于的方程恰好有有两个不同实根，求t的值和相应的实根。
18、（本小题满分10分）如图，四边形abcd内接于⊙o，cd∥ab，且ab是⊙o的直径，ae⊥cd交cd的延长线于点e，若ae=2，cd=3.
1)求⊙o的直径；（2）若翻折使点b与e重合的直线l（折痕）交⊙o于p、q两点，求的面积。
19、（本小题满分12分）设有一数列简记为。若数列满足：（为正整数， >0）。（可以把看作的一次函数）；数列定义如下：对于正整数是使得不等式成立的所有中的最大值。
1)若，求；
2)若，求满足的值；
3)是否存在和，使得（为正整数）？如果存在，求和的取值范围；如果不存在，请说明理由。
20、（本小题满分10分）已知：过点a(-1,1)，b（0，-1）的直线与抛物线交与p、q两点，若(o为坐标原点)的面积为。(1)求的值；
2)若m为抛物线c上的点，设直线am，bm与抛物线c的另一个交点分别为，求证：当点m在c上变动时，直线恒过一定点，并求出定点坐标。
2023年余姚中学自主招生语文模拟试卷
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2023年余姚中学自主招生数学模拟卷 一
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