本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置．
1.使都有意义的实数组（ ）
a．存在且有无限多组 b．存在有限组 c．一定不存在 d．无法确定是否存在。
2. 如图所示，直线，，表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有。
a．1处 b．2处 c．3处 d．4处。
3. 下列函数中和函数的图像关于轴对称的（ ）
a. b. c. d.
4. 小明、小联、小豪人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏。每一局三人同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势。则小明只赢一人的概率为（ ）
a. b. c. d.
5. 若，则的大小关系是（ ）
a. b.
c. d.
6. 三角形三条高线之比为，则这三角形是（ ）
a．锐角三角形 b．直角三角形 c．钝角三角形 d．形状不能确定。
7. 对于满足的所有实数，使不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
a． b．或 c．或 d．或
8. 定义函数，其中表示不超过的最大整数，如：。当时，记为函数的所有可能取值的个数。则（ ）
a．45 b．46 c．55 d．66
9. 十进制中，四位数能满足下列条件的就叫做“和谐平方数”：
1）它的数字都不为零；
2）它是一个完全平方数；
3）这个数的前两位数字，后两位数字都是完全平方数（看做两位数时）
问这样的“和谐平方数”的个数为（ ）
a.1 b.2 c.3 d.4
10. 如图，已知的平分线分别与边、的外接圆交于点、，过任作一条与直线不重合的直线，直线分别与直线、交于点、，下列判断错误的是（ ）
a．无论直线的位置如何，总有直线与的外接圆相切。
b．无论直线的位置如何，总有。
c．直线选取适当的位置，可使、、、四点共圆。
d．直线选取适当的位置，可使。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卷的相应位置．
11. 不等式的解为。
12. 某圆柱被一平面所截得到的几何体如图（1）所示，若该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆（如右图），则它的侧视图是（ ）
13. 已知正实数满足方程组，则该方程组的所有实数解为。
14. 已知正方形的边长为6，对角线交于点，为的中点，与交于点，交于点，则四边形的内切圆的半径等于
15. 若抛物线与轴、轴交于三个不同的点，当实数变化时，的外接圆一定经过定点，此定点的坐标为。
16. 我们把2×2的方格表称为一个“宫”，如图所示，将4个“宫”拼成一个4×4的方格表（称为“四宫格”）。现将1,2,3,4四个数字填入“四宫格”中，使得这4个数字在每行、每列、每“宫”（共4个）的四个格子中均出现一次。
现已知四宫格左上角的方格内已经填有数字1，则满足条件的填法共有种。
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）已知，，求证：
18.（本题满分14分）如图，已知双曲线、抛物线，直线。
ⅰ）若直线与抛物线有公共点，求的最小值；
ⅱ）设直线与双曲线的两个交点为，与抛物线的两个交点为。是否存在直线，使得为线段的三等分点？若存在，求出直线的解析式，若不存在，请说明理由。
19.（本题满分16分）现有一方格盘的跳棋，即在一个无限大的方格棋盘上有若干枚棋子，规定每一步可将某枚棋子跳过邻格中的棋子而进入随后的空格中，同时将被其他棋子跳过的棋子从棋盘上拿走。
1） 当棋盘上最初只有摆放成“7”字型的4枚棋子时，最终最少能剩下几枚棋子？
2） 当棋盘上最初只有摆放成2012×2012矩形的枚棋子时，最终最少能剩下几枚棋子？
20.（本题满分16分）如图，为半圆的直径，为半圆内的一点，直线交半圆于点，直线交半圆于点，直线与直线交于点，为直径上的一点，且满足，求证：
2023年温州中学自主招生数学试题。
答题卷。一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
14． 815． 616． 55或77 ；
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）已知，，求证：
证明：原不等式等价于。
18.（本题满分14分）如图，已知双曲线、抛物线，直线。
ⅰ）若直线与抛物线有公共点，求的最小值；
ⅱ）设直线与双曲线的两个交点为，与抛物线的两个交点为。是否存在直线，使得为线段的三等分点？若存在，求出直线的解析式，若不存在，请说明理由。
解：（ⅰ直线与抛物线有公共点，联立，得。
的最小值为；
ⅱ）设，显然。
联立，得，
联立，得，
若为线段的三等分点，则线段与的中点重合，且，从而，即，且，即，将代入上式并化简得，解得或，对应的或，经检验均符合题意，直线的解析式为或或。
19.（本题满分16分）现有一方格盘的跳棋，即在一个无限大的方格棋盘上有若干枚棋子，规定每一步可将某枚棋子跳过邻格中的棋子而进入随后的空格中，同时将被其他棋子跳过的棋子从棋盘上拿走。
3） 当棋盘上最初只有摆放成“7”字型的4枚棋子时，最终最少能剩下几枚棋子？
4） 当棋盘上最初只有摆放成2012×2012矩形的枚棋子时，最终最少能剩下几枚棋子？
解：（1）如图1所示，当棋盘上只有“7”字型的a,b,c,d 4枚棋子时，经过3次操作，最终至少能剩下1枚棋子。即通过若干次操作将排成一排的三个棋子拿走，并使a棋子回到原位。
图12）由（1）知，如图2所示，对于任意矩阵，可以通过操作，将其变为矩阵。
图2图3故可对2012×2012棋子矩阵进行操作，将其变为2×2012矩阵。
对图3所示2×4矩阵，可进行如下操作。
使得图3经过操作后剩下位于两枚棋子。故可对2×2012矩阵进行上述操作，将其变为2×2的矩阵。显然，最终最少可以只剩一枚棋子。
20.（本题满分16分）如图，为半圆的直径，为半圆内的一点，直线交半圆于点，直线交半圆于点，直线与直线交于点，为直径上的一点，且满足，求证：
证明：连接。
由。可证得∽
从而。所以四点共圆；
故。所以平分角。
又因为。所以平分角。
所以为的内心。
所以。所以四点共圆。
所以，证毕。
2023年温州中学自主招生模拟试题数学
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2023年温州中学自主招生数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟 一 选择题 本大题共12小题，每小题5分，共60分 在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置 1.若，则的值为 a b c 0 d 4 2.使都有意义的实数组 a 存在且有无限多组 b 存在有限组 c 一定...
2023年温州中学自主招生数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟 一 选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置 1.使都有意义的实数组 a 存在且有无限多组 b 存在有限组 c 一定不存在 d 无法确定是否存在。2.如图所示...