（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置．
1. 若，则的值为（ ▲
a． b． c．0 d．4
2. 使都有意义的实数组（ ▲
a．存在且有无限多组 b．存在有限组 c．一定不存在 d．无法确定是否存在。
3. 如图所示，直线，，表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ▲
a．1处 b．2处 c．3处 d．4处。
4. 下列函数的图象与函数的图象关于轴对称的是（ ▲
a. b. c. d.
5. 小明、小联、小豪三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏。每一局三人同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，则在一局中，小明恰只赢一人的概率为（ ▲
a. b. c. d.
6. 若，则的大小关系是（ ▲
a. b.
c. d.
7. 圆柱被一平面所截得到的几何体如图（1）所示，若该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆，则它的侧视图是（ ▲
8. 若的三条高之比为，则（ ▲
a．是锐角三角形 b．是直角三角形 c．是钝角三角形 d．以上均有可能。
9. 若对于满足的所有实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ▲
a． b． c． d．
10. 定义函数，其中表示不超过实数的最大整数，如：。当（其中为正整数）时，的所有可能取值的个数记为，则的值为（ ▲
a．45 b．46 c．55 d．66
11．已知满足方程组，则该方程组的所有实数解的组数为（ ▲
a.1b.2c.3d.4
12．如图，中的平分线分别与边、的外接圆交于点、，过任作一条与直线不重合的直线，直线分别与射线、交于点、，下列判断错误的是（ ▲
a．无论直线的位置如何，总有直线与的外接圆相切。
b．无论直线的位置如何，总有。
c．直线选取适当的位置，可使、、、四点共圆。
d．直线选取适当的位置，可使。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卷的相应位置．
13. 不等式的解为。
14. 如果个同学在小时共搬运块砖，那么个同学以同样的速度搬运块砖需 ▲ 小时。
15. 已知正方形的边长为，对角线交于点，为的中点，与交于点，与交于点，则四边形的内切圆的半径等于 ▲
16. 若抛物线与轴、轴交于三个不同的点，当实数变化时，的外接圆必经过某一定点，则此定点的坐标为。
17. 十进制中，四位数是完全平方数（其中均不为零），且，均为完全平方数，则。
18. 我们把2×2的方格表称为一个“宫”，将4个“宫”拼成如图所示的一个4×4的方格表（称为“四宫格”）。把1,2,3,4四个数字填入“四宫格”中，使得这4个数字在每行、每列、每“宫”的四个格子中均出现一次。
现已知“四宫格”左上角的方格内已经填有数字1，则满足条件的填法共有 ▲ 种。
答题卷。一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19.（本题满分10分）已知，，求证：.
20.（本题满分14分）如图，已知双曲线，抛物线和直线。设直线与双曲线的两个交点为，与抛物线的两个交点为。
ⅰ）若线段与线段的中点重合，求证：；
ⅱ）是否存在直线，使得为线段的三等分点？若存在，求出直线的解析式，若不存在，请说明理由。
21. （本题满分18分）如图，为半圆的直径，为半圆内的一点，直线交半圆于点，直线交半圆于点，直线与直线交于点，为直径上的一点，且满足，求证：.
22. （本题满分18分）在一个无限大的方格棋盘上有若干枚棋子，规定一次操作如下：将某枚棋子跳过邻格（有公共边）中的棋子而进入随后的空格中，同时将被其跳过的棋子从棋盘上拿走（图1）.
i）当棋盘上最初只有摆放成“7”字型（如图2）的4枚棋子时，经过若干次操作，最终最少能剩下几枚棋子？
ii）当棋盘上最初仅2012×2012方格中放置有棋子时（如图3），经过若干次操作，最终最少能剩下几枚棋子？
2023年温州中学自主招生模拟试题数学
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