姓名1：廉文秀学号：200904745
姓名2：沙吾列学号：200903952
姓名3：索海娟学号：200903951
专业：车辆工程。
班级：094
指导老师：张仲荣。
2024年 5 月 22 日。
人口统计模型。
一、 摘要。
该模型主要统计城市人口统计模型，知某城市2024年人。
口密度近似为p(r)=，p(r)表示距市中心r公里区域内的人口数，单位为每平方公里10万人。试求距市中心2km区域内的人口数。
若人口密度近似为p(r)=1.2e，试求距市中心2km区域内的人口数。
二， 模型分析。
设p(t)表示t时刻的人口数。
假设人口变化动力学受下面两条规则的影响：
1）t时刻净增人口以每年r(t)的比率增加。
2）在某段时间，如t1-t2段内，由于死亡或迁移，t1时刻的人口数p(t1)的一部分在t2时刻任存在，我们用h(t2-t1)p(t1)来表示，0三、符号说明。
p(r)：人口密度。
p(t)：表示t时刻某城市的人口数。
r（t）：t时刻净增人口比率。
p(t1)：t1时刻的人口数。
四、模型建立及求解。
根据两种模型的不同， 分别取距离微元和时间微元，建立人口统计的积分模型，然后用定积分的换元法和分部积分法求解：
第一步：i）假设我们从城市中心画一条放射线，把这条线上从0到2之间分成n个小区间，每个小区间的长度为。每个小区间确定了一个环。
让我们估算每个环内的人口数并把他们相加，就得到了总人口数。第一个环面积为：
rj2- rj-12=（rj-）2
rj2- [rj2-2rj+()2]
2rj- (2
在第j个环内，人口密度可看成数p(rj)，所以此环内的人口数近似为 p(rj) 2rj
第二步：距市中心2km区域内的人口数近似为p(rj) 2rj
所以人口数：n=
第三步：1） 当p(r)= n==4
距市中心2m区域内的人口数大约为229100.
2）当p(r)=1.2e-0.2r 时，n=21.2e-0.2r rdr=2.4re-0.2r rdr
=-24e-0.4+（-60e-0.4+60）
距市中心2km区域内的人口数大约为1160200.
第四步：将r(t)=5×104+105t，h(t)=e-t/40 及 t=0,p(0)=107 代入（1）式得：
p(10)=h（10）p(0)+ h（10-t）r（t）dt
107e-1/4+e-1/4[5104e-1/40dt+105te1/40dt]
2106(1-e-1/4)+107(17e-1/4-12) 1.28107
2024年时该城市大约有人口1280万。
五、模型评价和说明。
人口统计模型（i）中两个人口密度p(r)=和p(r)=1.2e有一个共同的特点p(r)<0,即随着r的增大，p(r)减少，这是符合实际的。另外，需要指出的事人口密度p(r)选取不同的模式时，估算出的人口数可能会相差很大，因此，选择适当的人口密度模式对于准确地估算人口数至关重要。
最大利润问题。
一、摘要。某公司在生产使用a，b两种原料，已知a，b两种原料分别使用x单元和y单元可生产u单元的产品，这里。
并且第一种原料每单元的**为10美元，第二种的**为4美元，产品每单元的售价为40美元，求该公司的最大利润。
二、模型建立及解答 （该问题属于多项式求极值的问题。）
分别对x，y求偏导数有：
解得唯一驻点：
所以必有极值。代入可得最大利润为：美元)
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