数学建模小实例

1、司乘人员配备问题。

某昼夜服务的公交路线每天各时间区段内需司机和乘务人员如下：

设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员？

解：设为第班应报到的人员，建立线性模型如下：

lingo程序如下：

model:

min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;

x1+x6>=60;

x1+x2>=70;

x2+x3>=60;

x3+x4>=50;

x4+x5>=20;

x5+x6>=30;

end得到的解为：

x1=60,x2=10,x3=50,x4=0,x5=30,x6=0;

配备的司机和乘务人员最少为150人。

2、铺瓷砖问题。

要用40块方形瓷砖铺下图所示形状的地面，但当时市场上只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块。一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面，结果无法铺好。试问是这人的功夫不到家还是这个问题根本无解呢？

解答： 3、棋子颜色问题。

在任意拿出黑白两种颜色的棋子共n个，随机排成一个圆圈。然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子，再重复以上的过程，这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子，问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢？

分析与求解：

由于在两颗同色棋子中放一颗黑色棋子，两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子，故可将黑色棋子用1表示，白色棋子用-1表示。这是因为-1×(-1)=1，1×1=1，这代表两颗同色棋子中放一颗黑色棋子；1×(-1)= 1，这代表两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子。

设棋子数为，为初始状态。

当n=3时。

步数状态(舍掉偶次项)

说明当n=3时，经过3步进入初始状态。

当n=4时。

步数状态(舍掉偶次项)

说明当n=4时，经过4步全变为黑色棋子。

既不循环也不全为黑子。

结论：当棋子数为时，至多经过次操作，就可以全部变为黑子，当棋子数不为时则一般不能全变为黑子。

matlab程序：进行实验。

棋子颜色问题演示。

1---黑子，-1 --白子。

n=4; %定义棋子数。

times=6;%定义迭代次数

x0=zeros(1,n);

x1=zeros(1,n); 定义数组

for i=1:n

k=rand(1,1);

if(k>0.5) x0(i)=1;

else x0(i)=-1;

endend; %赋初值

x0for i=1:times

i for k=1:n-1

x1(k)=x0(k)*x0(k+1);

endx1(n)=x0(n)*x0(1);

x1 %显示各次结果。

x0=x1;

end 程序语句解释：

产生一个m×n的0矩阵，通常用于定义一个指定大小的矩阵。zeros(1,n)则产生一个全部为0的行向量。

产生一个m×n的随机矩阵，每个元素都服从[0,1]上的均匀分布。rand(1,1)则产生一个服从[0,1]上的均匀分布的数字。

4. 选修课策略问题。

某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如表1所示。那么，毕业时学生最少可以学习这些课程中哪些课程。

如果某个学生既希望选修课程的数量少，又希望所获得的学分多，他可以选修哪些课程？

表1 课程情况

模型的建立。

1不考虑学分情形：

记i=1，2，…，9表示9门课程的编号。设表示第i门课程选修，表示第i门课程不选。问题的目标为选修的课程总数最少，即。

约束条件包括两个方面：

第一方面是课程数量的约束：

每个人最少要学习2门数学课，则。

每个人最少要学习3门运筹学课，则。

每个人最少要学习2门计算机课，则有：

第二方面是先修课程的关系约束：

如“数据结构”的先修课程是“计算机编程”，这意味着如果，必须，这个条件可以表示为（注意当时对没有限制）。这样，所有课程的先修课要求可表为如下的约束。

最优化方法”的先修课是“微积分”和“线性代数”，有：

数据结构”的先修课程是“计算机编程”，有。

应用统计”的先修课是“微积分”和“线性代数”，有：

计算机模拟”的先修课程是“计算机编程”，有：

**理论”的先修课程是“应用统计”，有：

数学实验”是“微积分”和“线性代数”，有：

这样一来，总的0-1规划模型为：

解得：即选修课程为：微积分，线性代数。最优化方法，计算机模拟，计算机编程，数学实验。

lingo程序为：

model:

sets:item/1..9/:c,x;

endsets

data:c=5,4,4,3,4,3,2,2,3;

enddata

min=@sum(item(i):x(i));课程最少；

x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)>=2;

x(3)+x(5)+x(6)+x(8)+x(9)>=3;

x(4)+x(6)+x(7)+x(9)>=2;

x(3)<=x(1);

x(3)<=x(2);

x(4)<=x(7);

x(5)<=x(1);

x(5)<=x(2);

x(6)<=x(7);

x(8)<=x(5);

x(9)<=x(1);

x(9)<=x(2);

for(item(i):@bin(x(i)))

end2 考虑学分情形：

当要求学分最多时，设各门课程学分为，则增加学分最大的目标函数为：

这样总的双目标0-1规划模型为：

当把选修课程指定为6门时，对学分最大求最优，解得：

最大学分为z=22。

即选修课程为：微积分，线性代数。最优化方法，应用统计，计算机编程，数学实验。学分达到22分。

lingo程序为：

model:

sets:item/1..9/:c,x;

endsets

data:c=5,4,4,3,4,3,2,2,3;

enddata

max=@sum(item(i):c(i)*x(i));

sum(item(i):x(i))=6; !课程为6门；

x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)>=2;

x(3)+x(5)+x(6)+x(8)+x(9)>=3;

x(4)+x(6)+x(7)+x(9)>=2;

x(3)<=x(1);

x(3)<=x(2);

x(4)<=x(7);

x(5)<=x(1);

x(5)<=x(2);

x(6)<=x(7);

x(8)<=x(5);

x(9)<=x(1);

x(9)<=x(2);

for(item(i):@bin(x(i)))end

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