问题1（引例） 选址问题：这次中学数学教师课程学习，为什么要统一到安康市--安康学院来进行？
图1分析：如图1。安康市从南到北较东分布的县6个较东西方向的5个县（汉滨区重合）多。
因此，我们不妨选择南北通道为主干道，则从安康市由北向南，主干道l分布有宁陕县、石泉县、汉阴县、汉滨区、平利县、镇坪县。此时，主干道l在汉滨区东西两则边分别与连接线上的旬阳县、白河县，以及紫阳县、岚皋县连接。
这样，问题成为一个数学建模问题，即在主干道l上选择一点p，使点p到安康市10大县ai(i=1,2,3,….10)的距离和s=∑pai最小。
一)模型假设。
1.由于选点p在主干道l，即主干道上的各点以北向南为ai(i=1,2,3,….6)与点p的距离影响总距离s，而连接线上的各点bj(j=1,2,3,4)与点p的距离不影响总距离s，设其和∑a4bj(j=1,2,3,4)为定长s0。
2.这样，本问题关键是求最小距离s=∑pai(i=1,2,3,….6)。
二)模型建立。
a1 a2a3pan-1anp’
图2如图2.现不妨将主干道拉成直线l，则相关县为直线l的点ai(i=1,2,3,….6)。若将直线l的点ai扩大到n（为自然数）个，则建立模型如下：
一直线l上排列的n个点ai(i=1,2,3,….n)，试在l上找一点p，使s=∑pai(i=1,2,3,….n)存在最小值。
三)模型求解。
1.如图2.先考虑2点a1、an，当点p**段a1an上时， pa1+pan=a1an=s（定值），且s较点p’**段a1an延长线上时的距离和 s＇= p＇a1+p＇an短。
因此，使s=∑pai(i=1,2,3,….n) 最小，点p只能**段a1an内时，存在最小值s。
2.如图2.先考虑4点a1、a2、an-1、an，使s=∑pai(i=1,2,3,….
n) 最小，点p只能**段a2、an-1上，其最小距离和是：s= a1an+ a2an-1。
依次类推，当点p在最中间线段上时，s=∑pai(i=1,2,3,….n) 最小，显然当ai(i=1,2,3,….n)为奇数时，点p就在中间点上。
于是，得到结果（ⅰ）
1°当直线l上排列的n个点为偶数时，点p**段an/2a n/2+1上，其距离和s=∑pai(i=1,2,3,….n)最小，其最小值是：s= a1an+ a2an-1+…+an/2a n/2+1；
2°当直线l上排列的n个点为奇数时，点p在点a（n+1）/2处，其距离和s=∑pai(i=1,2,3,….n)最小，其最小值是：s= a1an+ a2an-1+…+a（n+1）/2-1a（n+1）/2+1。
于是，本问题中，n=6，则点p**段a3a 4上，即在点p在汉阴县和汉滨区之间任何一点处，其距离和s最小。
(四)模型讨论。
这与实际有一定出入。我们说，这里仅仅考虑了点ai(i=1,2,3,….n)没有重复情况，因此，模型需要修正。则建立模型如下：
一直线l上排列的可以重复的n个点ai(i=1,2,3,….n)，其各点ai(i=1,2,3,….n)对应的权重系数分别是ri(i=1,2,3,….
n，ri为自然数，且∑ri=m，m为自然数)，试在l上找一点p，使s=∑ripai(i=1,2,3,….n)存在最小值。
仿照以上方法，得到结论：
s=∑ripai(i=1,2,3,….n)
=（pa1+ pa1+…+pa1）+（pa 2+ pa 2+…+pa 2）+…pa n+ pa n+…+pa n）
r1个r2个rn个。
于是，由结果（ⅰ）得到结论：
1°若m为偶数时，当点p在权重系数rsrs+1(其中∑rs=m/2)对应的点as、as+1构成的区间上，距离和s=∑ripai(i=1,2,3,….n)最小；
2°若m为奇数时，当点p在权重系数r（s+1）/2(其中∑rs=m/2)对应的点a（s+1）/2处，距离和s=∑ripai(i=1,2,3,….n)最小。
于是，有结论（ⅱ）
1°若m为偶数时，若权重系数rs(其中∑rs=m/2)对应的点as与点as+1不重合，则当点p**段asas+1上，距离和s=∑ripai(i=1,2,3,….n)最小，其最小值是：s= a1an+ a2an-1+…+asa s+1；
若权重系数rs(其中∑rs=m/2)对应的点as与点as+1重合，则当点p在点as处，距离和s=∑ripai(i=1,2,3,….n)最小。其最小值是：
s= a1an+ a2an-1+…+as-1as+1；
2°若m为奇数时，当点p在权重系数rs(其中∑rs=m/2)对应的点as处，距离和s=∑ripai(i=1,2,3,….n)最小，其最小值是：s= a1an+ a2an-1+…+as-1as+1。
现在，考虑本问题中，n=6，m=10，r1= r2= r3= r5= r6 =1，r4=5。
由于3= r1+ r2+ r3(五)模型推广。
若我们将直线l，看作有向直线l，设有向直线l上可以重复的n个点ai(i=1,2,3,….n)的坐标分别为xi(i=1,2,3,….n)，点p坐标为x，且点ai(i=1,2,3,….
n)对应的权重系数分别是ri(i=1,2,3,….n，ri为自然数，其中∑ri=m，m为自然数)，则有模型：
对于函数f(x)=∑ri︱x-xi︱(ri >0，满足x1≤x2≤…≤xn或x1≥x２≥…xｎ，且∑ri=m，m为自然数，i=1,2,3,….n)，∑rj=s，s为自然数，j=1,2,3,….m)，
1°若m为偶数时，当点xs与xs+1不重合时，x属于xs，xs+1构成的区间上的任意一点时，f(x)=∑ri︱x-xi︱(i=1,2,3,….n)最小，其最小值是：f(xs)= f(xs+1)；
当点xs与xs+1重合时，x在点xs处，f(x)=∑ri︱x-xi︱(i=1,2,3,….n)最小，其最小值是：f(xs)；
2°若m为奇数时，x在点xs处，f(x)=∑ri︱x-xi︱(i=1,2,3,….n)最小，其最小值是：f(xs)。
应用： 例1 （2024年第61届美国数学竞赛amc12a的第22题）f(x)＝︱2ｘ-１3ｘ-１119ｘ-１的最小值是多少？（注：原题为选择题）
解：f(x)＝︱2︱ｘ-2︱＋3︱ｘ-3︱＋…119︱ｘ-119︱
由于m=∑ri＝１＋119＝7140是偶数，故m/2＝3570．
此时，由∑rj＝１＋s，即s（s+1）/2=3570，s2+s-7140=0，求得：s=84，s=-85（舍去）。即通项xs=x84=１/n =1/84。
于是，f(x)函数值最小：
f(x84)＝f(1/84) =1/84-１︱2/84-１︱3/84-１︱119/84-１︱
问题2 椅子能在不平的地面放稳吗？
(一)分析。
为了比较彻底地解决这个问题，种特殊的情形入手，假设桌子的四脚连线呈正方形。
注意到桌脚连线是正方形，正方形绕它的中心旋转表示了桌子的位置改变。因此，可以用旋转角度这一变量表示桌子的位置。
桌子位于不同的位置，桌脚与地面之间的距离就不同，所以这个距离可以是旋转角度的函数。
二)模型假设。
对椅子和地面应该做出一些假设：
1．椅子四条腿一样长，椅子与地面接触可视为一个点，四角的连接呈长方形。
2．地面的高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可以视为数学上的连续平面。
3．对于椅子腿的间距和椅子腿的长度而言地面是相对平坦的，使椅子腿在任何地方都有三个腿同时着地。
(三)模型建立。
现在根据模型假设，来建立数学模型。
如图(1)所示，abcd为桌子的初始位置，中心是o点， a′b′c′d′为桌子绕o点旋转θ角后的位置，即a′c′与x轴夹角为θ，记a、c两脚与地面距离之和为f (θb、d两脚与地面距离之和为g (θ
由假设，地面为连续曲面，则f (θ和g (θ都是θ的连续函数，并且f (θ0，g (θ0，由于任何位置至少有三只脚着地，即对任意的θ，f (θ和g (θ至少有一个为零，因此，恒有： f (θg (θ0，不妨设当θ=0时，g (θ0，f (θ0。
当桌子旋转90°时，只是a、c与b、d二位置互换，也就是ac连线与bd连线互换。这样，当θ=90°时，有f (θ0，g (θ0。
于是四条腿桌子放稳问题就成了数学问题。建立模型如下：
已知f (θ和g (θ为连续函数，而且对于任意的θ，恒有f (θg (θ0，并且当θ=0时，g (θ0，f (θ0；当θ=90°时，有f (θ0，g (θ0。求证：存在θ0，使f (θ0)=0，g (θ0) =0。
四)模型求解。
引理：若函数h (x)在闭区间 [a， b]上连续，且h (a) h (b) <0 (即h (a)与 h (b)异号)，则在区间 (a，b)至少存在一点ξ，使f (ξ0。
令h (θf (θg (θ则h (0)> 0，h (90°)≤0。
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