兰州交通大学。
学院：机电工程学院。
班级：车辆093
学号：200903812 姓名：刘键。
学号：200903813 姓名：杨海斌。
学号：200903814 姓名：彭福泰。
学号：200903815 姓名：程二永。
学号：200903816 姓名：屈辉。
高尔夫球座的体积。
一，摘要。今天微积分不仅是研究函数的一个数学分支。而且其在我们生活中的地位也越来越重要，对处理变量之间的关系，更有着不可替代的作用。尤其运用于数学模型的求解。
微积分是和我们的实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。本文主要介绍运用微积分知识求解一个木制高尔夫球座大体上具有以f(x)与g(x)的图像为边界的区域绕ox轴旋转一周形成的立体问题。
关键词：微积分、高尔夫球底座、体积。
二，问题的重述。
一个木制高尔夫球座大体上具有以f(x)与g(x)的图像为边界的区域绕ox轴旋转一周形成的立体。这里：
求该高尔夫球底座的体积？
三，模型的建立与求解。
首先建立如图所示的高尔夫球底座数学模型：
其中：f(x)与g(x)均为图像为边界的区域函数。
模型求解：解：
人口统计模型。
人口统计模型（1）： 某城市2024年的人口密度近似为。表示距市中心 r 公里区域内的人口数，单位为每平方公里10万人。试求距市中心2km区域内的人口数；
人口统计模型（2）： 若人口密度近似为（单位不变），试求距市中心2km区域内的人口数。
设表示t时刻某城市的人口数。假设人口变化动力学受下列两条规则的影响：
1） t时刻净增人口以每年r(t)的比率增加；
2） 在一段时期内，比如说从到，由于死亡或迁移，时刻的人口数的一部分在时刻仍然存在， 我们用来表示，，是这段时间的长度。试建立在任意时刻t人口规模的模型。如果，，2024年时该城市的人口数为，试**2024年时该城市的人口数。
根据两种模型的不同，分别取距离微元和时间微元，建立人口统计的积分模型，然后用定积分的换元法和分部积分法求解。
第一步：i） 假设我们从城市中心画一条放射线，把这条线上从0到2之间分成 n 个小区间，每个小区间的长度为。每个小区间确定了一个环，如下图所示。
让我们估算每个环内的人口数并把它们相加，就得到了总人口数。第j个环的面积为：
在第 j 个环内，人口密度可看成数，所以此环内的人口数近似为：
第二步：距市中心2km区域内的人口数近似为：
所以人口数：
第三步：1） 当时，
距市中心2km区域内的人口数大约为229 100.
2） 当时，
距市中心2km区域内的人口数大约为1 160 200.
第四步：ii） 数学建模：我们把的时间区间分成n等分，每个小区间的长度为。
初始时刻的人数为，到时刻将只剩下。当很小时，从时刻到，净增人口的比率近似为常数。这段时期净增的人口数近似为。
时刻到内净增加的人口到时刻只剩下。所以在时刻的总人口数近似为：
当无限增大时1）
第五步：将及，代入（1）式得
2024年时该城市大约有人口1 280万。
人口统计模型（i）中两个人口密度和有一个共同特点，即随着r的增大，减少，这是符合实际的。另外，需要指出的是，当人口密度选取不同的模式时，估算出的人口数可能会相差很大，因此，选择适当的人如何购物最满意。
日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问题。由于钱数固定则如果购买其中一种物品较多，那么势必要少买（甚至不再购买）另一种物品，这样就不可能很令人满意。如何花费给定量的钱才能得到最满意的效果呢？
经济学家试图借助效用函数来解决这一问。所谓效用函数，就是描述人们同时购买两种产品各x单位y单位时满意程度的量。常见的形式有：
u(x,y)=x+y ,u(x,y)=lnx+lny等。
而当效用函数达到最大值时，人们购买分配的方案最佳。
例如：小孙由200元钱，他决定购买两种急需品：计算机磁盘和录音磁带。且设他购买x张磁盘y张录音磁带的效用函数为y（x，y）=lnx+lny。
设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配他的200元钱，才能达到最满意的效果。
解：题目给出两个方程：
u（x，y）=lnx+lny （1） 8x+10y=200 （2）
有拉格朗日乘数法得知：
l=lnx+lny+λ（8x+10y-200）,则有：
lx=1/x+8λ=0 （3）
ly=1/y+10λ=0 （4）
由（2）（3）（4）可得：λ=1/100
代入（3）（4）得到：x=12.5,y=10
于是点（12.5,10）可能是极值点，需进一步判定。
又∵l=lnx+lny-1/100(8x+10y-200)
dl=1/x×dx+1/y×dy-1/100×8x-1/10×dy
得：d2l=( 1/x2)×dx2-(1/y2)×dy2<0
则此函数在（12.5，10）处达到极大值。
又因为由题有8x+10y≤200必须成立。
所以可取的当x=12且y=10时最满意效果可达。
所以买了12张磁盘和10张磁带。
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