2012~~2013学年度高一寒假作业。
1．设全集，集合， ,则。
abcd.
2．函数的定义域为，，全集，则图形中阴影部分表示集合是。
ab.cd.
3．函数的单调递减区间是。
a. b. c. d.
4．在中，（如下图），若将绕直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是
a. b. c. d.
5．下列命题正确的是( )
a、一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行。
b、平行于同一个平面的两条直线平行。
c、与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面。
d、平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行。
6．给出下列命题：
若平面α的两条斜线段pa、pb在α内的射影长相等，那么pa、pb的长度相等；
已知po是平面α的斜线段，ao是po在平面α内的射影，若oq⊥op，则必有oq⊥oa；
与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；
平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β
上述命题中不正确的命题是（ ）
ab、①②cd、②③
7．定义两种运算：，，则。
是（ ）函数。
a．偶函数 b．奇函数 c．既奇又偶函数d．非奇非偶函数。
8．若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
9．三个数，，的大小顺序是。
ab.cd．
10．若是方程的解，则属于区间。
a． b． c． d．
11．某商品**前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的**与原来**相比，变化情况是( )
a．增加7.84% b．减少7.84%
c．减少9.5% d．不增不减。
12．如图2.3.1-2，在正方形abcd中，e、f分别是bc、cd的中点，g是ef的中点，现在沿ae、af及ef把这个正方形折成一个空间图形，使b、c、d三点重合，重合后的点记为h，那么，在这个空间图形中必有（ ）
a、ah⊥△efh 所在平面 b、ad⊥△efh所在平面。
c、hf⊥△aef所在平面 d、hd⊥△aef所在平面。
13．函数的单调增区间是___
14．计算。
15．设是三条不同的直线，是三个不同的平面，下面有四个命题：
其中假命题的题号为。
16．如图，，分别是正方体的面和面的中心，则四边形在该正方体的面上的正投影（投射线垂直于投影面的投影）可能是 ．
把所有可能图形的序号都填上）
17．（本小题满分12分）
已知函数 ⅰ）求的值；
ⅱ）求（）的值；
ⅲ）当时，求函数的值域。
18．（本小题满分12分）已知集合，.
ⅰ）若，求集合、集合。
ⅱ）若，求的取值范围。
19．（本题满分12分）已知正方体，是底面对角线的交点。
1）求直线和平面所成的角；
2）求证：．
20．（本题满分12分）
如图，已知直平行六面体abcd－a1b1c1d1中，ad⊥bd，ad=bd=a，e是cc1的中点，a1d⊥be．
i）求证：a1d⊥平面bde；
ii）求二面角b―de―c的大小；
iii）求点b到平面a1de的距离
21．如图，□efgh的四个顶点分别在空间四边形abcd的边ab、bc、cd、da上，求证：bd∥面efgh，ac∥面efgh．
22．（本小题满分12分）
定义在r上的函数，，当时，，且对任意实数，有，1) 求证2）求证：对任意的∈r，恒有》0；
3）证明：是r上的增函数；（4）若，求的取值范围。、
参***。1．b
解析】试题分析：因为，又，所以=。
考点：本题考查集合的运算。
点评：直接考查集合的运算，属于基础题型。
2．c解析】
试题分析： 由于题意可知，函数，而集合，则根据阴影部分表示的为集合m在集合m,n的并集中的补集，可知为。
因此可知集合m在的补集为，故选c.
考点：本题主要考查了对数不等式的求解以及一元二次不等式的解集的运用。
点评：解决该试题的关键是利用对数函数单调性得到对数不等式的求解以及二次不等式的求解，同时理解阴影部分表示的为集合m在集合m,n的并集中的补集运用。
3．a解析】
试题分析：易知函数的定义域为。
又，且函数在上单调递增，函数在单调递减，在单调递增，所以函数的单调递减区间是。
考点：本题考查复合函数的单调性。
点评：判断复合函数的单调性，只需要满足四个字：同增异减，但一定要注意先求函数的定义域。本题易错的地方是：忘记求定义域而导致选错误答案c。
4．d解析】根据旋转体的概念可知，中，，若将绕直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积大圆锥减去小的圆锥的体积，则可知是，选d.
5．d解析】a错误；平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面；
b错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面；
c错误；与两个相交平面的交线平行的直线也可能在其中一个平面内；
d正确；设故做一平面，则，又故选d
6．c解析】
如图，长方体；是平面abcd的斜线，在平面abcd**影都为bc,但，①错误；如图在平面abcd**影为bc,
正确；设是异面直线，若平面。
则必有③错误；如图长方体中f、g分别是中点，，但平面与平面abcd不平行。故选c
7．b解析】
因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数，因而选b.
8．c解析】因为函数是上的减函数，则可知2-3a<0,09．d
解析】因为，那么根据指数和对数的性质可知函数值的大小关系，故选d。
10．b解析】令，所以属于区间为。
11．b解析】设该商品原价为a，四年后**为a(1＋0.2)2·(1－0.2)2＝0.9216a.
所以(1－0.9216)a＝0.0784a＝7.84%a，即比原来减少了7.84%.
12．a解析】在正方形abcd中，按题中条件折成一个空间图形，上述垂直关系没有发生变化，所以在这个空间图形中必有因此必有。关系a
解析】由，所以此函数的定义域为，根据复合函数的单调性，所以此函数的单调增区间为。
解析】原式。
解析】，则或，①不正确；
由平行的递推性可得，②正确；
则存在有。因为，则可能可能相交或平行，从而可得也可能相交或平行，③不正确；
则存在有。因为，所以。因为，所以，从而可得，④正确。
解析】对面而言，点在其上的投影分别为边中点，所以此时四边形的投影为图（2），面的情况类似；对面而言，点在其上的投影点，所以此时四边形的投影为图（3），面情况类似。
iii）的值域是。
解析】（i）因为f(-2)=,所以f(f(-2))=f(5)=.
ii)因为。
iii)因为，所以要分三种情况分别求其值域，最后再求并集就是f(x)的值域。
②当时，③当时，∵
故当时，函数的值域是。
18．（ⅰ的取值范围是。
解析】本试题主要是考查了集合的运算，以及不等式的求解的综合运用。
1）因为由，得，即，由或。
求解得到结论。
2）因为，那么可知实数a的范围是。
解：（ⅰ由，得，即 4分。
由或。即9分。
ⅱ），的取值范围是12分。
19．（1）；（2）见解析。
解析】(1)连接bd交ac于o点，因为底面是正方形，显然，易证：
从而可得就是直线和平面所成的角，然后解三角形求角即可。
2)只须证明：即可。在（1）的基础可知，只须证明bd//b1d1即可解决问题。
20．(1)见解析；(2)∠bnm=arctan (10’)(3)bn==a 。
解析】(1)因为a1d⊥be,再根据ad⊥bd, ,所以，所以，因而，问题得证。
2)作出二面角的平面角是解题的关键，具体做法取cd中点m，连bm，则bm⊥平面cd1，作mn⊥de于n，连nb，则∠bnm是二面角b―de―c的平面角，然后解三角形求角即可。
3)在（2）的基础上，易证bn长就是点b到平面a1de的距离，因而可得bn==a.
1)∵aa1⊥面abcd，∴aa1⊥bd，又bd⊥ad，∴bd⊥a1d (2’)
又a1d⊥be，a1d⊥平面bde3’)
2)连b1c，则b1c⊥be，易证rtδcbe∽rtδcbb1，=，又e为cc1中点，∴ bb12=bc2=a2，bb1=a5’)
取cd中点m，连bm，则bm⊥平面cd1，作mn⊥de于n，连nb，则∠bnm是二面角b―de―c的平面角7’)
rtδced中，易求得mn=，rtδbmn中，tan∠bnm==，bnm=arctan (10’)
3)易证bn长就是点b到平面a1de的距离 (11’)
bn==a (12’)
(2)另解：以d为坐标原点，da为x轴、db为y轴、dd1为z轴建立空间直角坐标系。
则b(0,a,0)，设a1(a,0,x)，e(-a,a,)，a,0,-x)，=a,0,)，a1d⊥be
a2-x2=0，x2=2a2，x=a，即bb1=a.
21．见解析。
解析】证明：efgh是平行四边形。
bd∥面efgh，同理可证ac∥面efgh．
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