对。偶。问。
题。论。
文。系别：数学系。
专业：信息与计算科学。
班级：1402
姓名：贾亚荣20140404210
姜秋宇20140404211
王超 20140404219
目录。一、摘要。
二、引言。三、问题重述。
四、模型分析。
五、模型假设。
六、符号说明。
七、模型建立。
八、模型求解。
九、结果分析。
十、模型改进。
十。一、模型推广。
十。二、参考文献。
一、摘要。在生活中费用利润问题是最常见的一个问题，对于消费者而言费用最少对自己约有利，对于经营而而言，利润最大则为有利。本文就费用利润而言建立了数学模型。
二、引言。运筹学是一门解决实际问题的新兴学科，它在国民经济和科学技术的各个领域有着广泛的应用，特别是在企业经营管理、产品营销、资源分配、财政金融、优化服务等方面产生了巨大的经济效益，从而也极大地促进了学科的发展。随着社会的发展，对于企业或者个人来说，外部的干扰因素越来越多，如何处理和安排，让他们彼此融洽不冲突已达到最大的优化方式。
运筹学就是以数学做主要手段，着重研究最优化问题解法的学科。作为一门实用性很强的学科，运筹学可以用来很好的解决生活中的许多问题，对现代化建设又重要作用。
**性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题，即每一个线性规划问题都有一个与他对应的对偶线性规划问题的存在。
原来的线性规划问题则称为原始线性规划问题，简称原始问题。对偶问题有许多重要的特征，他的变量能提供关于原始问题最优解的许多重要资料，有助于原始问题的求解与分析。
对偶问题与原始问题之间存在着下列关系：
1.目标函数对于原始问题使极大化，对偶问题则是极小化。
2.原始问题目标函数中的收益系数是对偶问题约束不等式中的右端常数，而原始问题约束不等式中的右端常数则是对偶问题中目标函数的收益系数。
3.原始问题与对偶问题的约束不等式的符号方向相反。
4.原始问题约束不等式系数矩阵转置后即为对偶问题的约束不等式的系数矩阵。
5.原始问题的约束方程数对应于对偶问题的变量数，而原始问题的变量数对应于对偶问题的约束方程数。
6.对偶问题的对偶问题使原始问题，这一性质被称为原始和对偶问题的对称性。
关键字：对偶费用最小利益最大。
3、问题重述。
假定一个成年人每天需要从食物中获取3000kcal的热量，55g蛋白质，800mg的钙。如果市场上只有四种食品可供选择，问如何选择才能在满足营养的前提下是购买食品的费用最小？经营者的利益如何才能最大？
四、模型分析。
要求购买食物的费用最小，就要使每种食物的**乘以食物的数量相加，总和最小，所以食物的购买量为未知数，**中已知了每种能量每天的需求量，由此可以列出3个不等式，即可求出消费者使用的最小费用；
要使经营者的利益最大，就要使每天的需求量乘以每种能量的单位**的和相加最大，所以每种能量的单位**为未知数，**中已知了每种食物能量的**，可列出四个不等式；
这个问题从消费者的角度看，不仅获取的能量足够而且花费的费用也要最小，从经营者的角度看，要使收益最大。
五、模型假设。
1.假设人体每天流失的能量忽略不计；
2.每天四种食品的量都是足够的；
3.每种食物的**不受外界因素的影响而改变；
六、符号说明。
1. 设猪肉每天的购买量x1；
2. 鸡蛋每天的购买量x2；
3. 大米每天的购买量x3；
4. 白菜每天的购买量x4;
5. 每天购买的食品费用为z;
6. 设1个kcal热量的**为y1；
7. 1g蛋白质的**为y2；
8. 1mg钙的**为y3；
9. 经营者的收益为s；
7、模型建立。
消费者角度：
决策变量：设猪肉每天的购买量x1，鸡蛋每天的购买量x2，大米每天的购买量x3，白菜每天的购买量x4，且购买量不得小于0；
约束条件：四种食品每天的热量获取量不得小于3000kcal，蛋白质的获取量不得小于55g，钙的获得量不得小于800mg；
目标函数：每天花费费用最少，每种食物在获得足够能量下的费用总和最小；
得到公式：minz=14x1+6x2+3x3+2x4
1000x1+800x2+900x3+200x4>=3000
50x1+60x2+20x3+10x4 >=55
400x1+200x2+300x3+500x4>=800
x1,x2,x3,x4>=0
经营者角度：
决策变量：设1个kcal热量的**为y1，1g蛋白质的**为y2，1mg钙的**为y3，且每种能量的单位**不得小于0；
约束条件：猪肉中热量，蛋白质，钙的总**不得大于14元，鸡蛋中热量，蛋白质，钙的总**不得大于6元，大米中热量，蛋白质，钙的总**不得大于3元，白菜中热量，蛋白质，钙的总**不得大于2元；
目标函数：人体每天需求的热量，蛋白质，钙的最大**。
得到公式：maxs=3000y1+55y2+800y3
1000y1+50y2+400y3<=14
800y1+60y2+200y3<=6
900y1+20y2+300y3<=3
200y1+10y2+500y3<=2
y1,y2,y3>=0
八、模型求解。
用lindo编程计算其最优解和最优值。
minz=14x1+6x2+3x3+2x4
1000x1+800x2+900x3+200x4>=3000
50x1+60x2+20x3+10x4 >=55
400x1+200x2+300x3+500x4>=800
x1,x2,x3,x4>=0
计算结果】lp optimum found at step 3
objective function value
variable value reduced cost
x1 0.000000 10.666667
x2 0.000000 3.333333
x3 3.333333 0.000000
x4 0.000000 1.333333
row slack or surplus dualprices
九、结果分析。
两个式子形成一个对偶问题，第二个式子使第一个式子的对偶式。对比两个式子，两个目标函数中一个是最小值符号，一个是最大值符号；原始问题的目标函数中的系数是对偶式中约束条件右边的常数；原始式中不等式系数矩阵的转置为对偶问题中不等式的系数矩阵；原始式中约束条件和对偶问题中的变量符号相同；原始问题中变量的符号和对偶问题中约束条件的符号相反；
十、模型推广。
对偶问题的一个最主要应用就是“影子**”。影子**以资源的稀缺性为价值依据。以资源的边际效益为价值尺度，反应了资源对目标值的边际贡献，资源在最优决策下的边际价值以及资源的市场供求关系，稀缺程度。
他表示对某种资源效用价值的估计，这种估计不是该资源的市场**，而是根据该资源在特定的经济结构中做出的贡献所作的估价，因而成为“影子**”。
影子**反映了具有某种经济结构的系统，有限资源得到最优利用时，资源的边际价值。对影子**的研究，现已引起许多部门的重视。影子**在企业经营，经营决策，资源分配和技术经济分析中，能够提供科学的定量依据。
比如：影子**可以指导管理部门对紧缺资源实现“择优分配”，还可以帮助**产品的**等。
11、参考文献。
运筹学》第四版清华大学编。
最优化方法》第二版高等教育出版社。
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