1.2 工厂每月生产a、b、c三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．
表1－23根据市场需求，**三种产品最低月需求量分别是和120,最高月需求是和130.试建立该问题的数学模型，使每月利润最大．
解】设x1、x2、x3分别为产品a、b、c的产量，则数学模型为。
1.3 建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作a、b两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：
表1－24 窗架所需材料规格及数量。
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
解】 第一步：求下料方案，见下表。
第二步：建立线性规划数学模型。
设xj（j=1,2,…，14）为第j种方案使用原材料的根数，则。
1）用料最少数学模型为。
用单纯形法求解得到两个基本最优解。
x(1)=(50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );z=534
x(2)=(0 ,200 ,100 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 );z=534
2）余料最少数学模型为。
用单纯形法求解得到两个基本最优解。
x(1)=(0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );z=0，用料550根。
x(2)=(0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );z=0，用料650根。
显然用料最少的方案最优。
1.4某企业需要制定1～6月份产品a的生产与销售计划。已知产品a每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品a1000件，1月初仓库库存200件。
1～6月份产品a的单件成本与售价如表1－25所示。
表1－251）1～6月份产品a各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型；
2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。
解】设xj、yj（j＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为。
2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。
1.5 某投资人现有下列四种投资机会， 三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：
方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20％，下一年可继续将本息投入获利；
方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50％，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；
方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60％，这种投资最多不超过1.5万元；
方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30％，这种投资最多不超过1万元．
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型。
解】是设xij为第i年投入第j项目的资金数，变量表如下。
数学模型为。
最优解x=(30000，0，66000，0，109200，0)；z＝84720
1.6 炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于94，每桶利润5元，见表1－26。
表1－26半成品油的辛烷值、气压、及每天可**数量见表1－27。
表1－27问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。
解设xij为第i（i＝1,2,3,4）种成品油配第j(j=1,2,…,7)种半成品油的数量（桶）。
总利润：高级汽油和一般汽油的辛烷值约束。
航空煤油蒸气压约束。
一般煤油比例约束。
即。半成品油**量约束。
整理后得到。
1.7 **下列线性规划并指出解的形式：
解】有多重解。最优解x（1）＝（3/2，1/2）；x（2）＝（4/5，6/5）最优值z=2
解】最优解x＝（2，3）；最优值z=26，有唯一最优解。
解】无可行解。
1.10分别用**法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点．
解】**法。
单纯形法：对应的顶点：最优解。
解】大m法。数学模型为。
两阶段法。第一阶段：数学模型为。
第二阶段：最优解：
1.14已知线性规划。
的最优基为，试用矩阵公式求（1）最优解；(2)单纯形乘子；(3) (4) 解】则。
注：该题有多重解：
x(1)=(0，5，0，5/2)
x(2)=(0，10/3，10/3，0)
x(3)=(10，0，0，0)，x2是基变量，x(3)是退化基本可行解。
z＝50p68
1） 【解】
2） 【解】
3） 【解】
4） 【解】
对偶问题为：
2.5已知线性规划。
的最优解，求对偶问题的最优解．
解】其对偶问题是：
由原问题的最优解知，原问题约束③的松弛变量不等于零()，x1、x3不等于零，则对偶问题的约束①、约束③为等式，又由于知y3＝0；解方程。
得到对偶问题的最优解y=(5/2,5/2,0)；w＝55/2＝27.5
2.6用对偶单纯形法求解下列线性规划。
解】将模型化为。
对偶单纯形表：
b列全为非负，最优解为x＝(2，3，0)；z＝18
2.7．某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品a、b、c，有关资料见表2-23．
表2-231）怎样安排生产，使利润最大．
2）若增加1kg原材料甲，总利润增加多少．
3）设原材料乙的市场**为1.2元/kg，若要转卖原材料乙，工厂应至少叫价多少，为什么？
4）单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变．
5）原材料分别单独在什么范围内波动时，仍只生产a和c两种产品．
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