数学建模作业题答案。
一、教材76页第1章习题1第7题（来自高中数学课本的数学**问题，满分10分）
表1.17是某地一年中10天的白昼时间（单位：小时），请选择合适的函数模型，并进行数据拟合。
表1.17 某地一年中10天的白昼时间。
答：根据地理常识，某地的白昼时间是以一年为周期而变化的，以日期在一年中的序号为自变量x,以白昼时间为因变量y,则根据表1.17的数据可知在一年（一个周期）内，随着x的增加，y先增后减，y大约在6月21日（夏至）达到最大值，在12月21日（冬至）达到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）达到中间值。
选择正弦函数作为函数模型。根据表1.17的数据，推测a，b和的值，作为非线性拟合得。
**该地12月21日的白昼时间为5.49小时。
二、教材100页第2章习题2第1题（满分10分）
继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？
解答：1）“两秒准侧”表明前后车距与车速成正比例关系，引入以下符号：
d~前后车距（m）；v~车速（m/s）；
k2=2~按照“两秒准则”，d与v之间的比例系数（s）。
于是“两秒准侧”的数学模型为d=k2v=2v
比较d=0.75v+0.082678v2与d=2v，得：
d-d=（0.082678v-1.25）v
所以当v﹤15.12m/s（约合54.43km/h）时，有d﹤d，即前后车距大于刹车距离的理论值，可认为足够安全；当v﹥15.
12m/s时，有d﹥d，即前后车距小于刹车距离的理论值，不够安茜，也就是说，“两秒准则”适用于车速不算很快的情况。
2）“一车长度准则”表明前后车距与车速成正比例管理，引入以下符号：
d~前后车距（m）；v~车速（m/s）；
k1~按照“一车长度准则”，d与v之间的比例系数（s）
于是“一车长度准则”的数学模型为。
d=k1v1）
考虑家庭用的小型汽车，不妨设一车长度为5米，则。
k1=所以（1）式即 d=1.1185v （2）
比较经验公式d=0.75v+0.082678v2与（2）式，得：
d-d=（0.082678v-0.3685）v
所以当v＜4.457m/s（约合16km/h）时，有d＜d，即前后车距大于刹车距离的理论值，可认为足够安全；当v＞4.457m/s时，有d＞d，即前后车距小于刹车距离的理论值，不够安全，也就是说，“一车长度准则”只适用于车速很慢的情况。
通过“两秒准则”和“一车长度准则”我们知道只有在速度一定得情况下才有安全之说，所以我们在开车的时候应注意速度和保持前后车距离。
三、教材100页第2章习题2第3题（满分10分）
继续考虑第2.3节“生猪**时机”案例，做灵敏度分析，分别考虑农场每天投入的资金对最佳**时机和多赚的纯利润的影响。
解答：（1）考虑每天投入的资金c发生的相对为，则生猪饲养的天数t发生的相对变化是的多少倍，即定义t对c的灵敏度为。
s（t,c）= 因为△c→0，所以重新定义t对c的灵敏度为。
s（t,c由课本上可知t
所以t=-,所以t是c的减函数。
为了使t﹥0，c应满足rp(0)-gω(0)-c>0
结合①②可得s（t,c2这个结果表示的意思是如果农场每天投入的资金c增加1%，**时间就应该提前2% 。
2）同理（1）总收益q对每天投入资金c的灵敏度为。
s（q,c）=
qmax= ④
结合③④得。
qmax=－=4这结果表示的意思是如果每天投入的资金c增加1%，那么最大利润就会减少4%
四、教材143页第3章习题3第2题（满分10分）
某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为.55%和-4.5%. 假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势：
1) 三种自然环境下25年的变化过程，结果要列表并图示；
2) 如果每年捕获3只，山猫数量将如何变化？会灭绝吗？如果每年只捕获1只呢？
3) 在较差的自然环境下，如果要使山猫数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只？
解答：①解记第k年山猫 xk,设自然坏境下的年平均增长率为r，则列式得。
xk+1=(1+r)xk, k=0,1,2…
其解为等比数列。
xk=x0(1+r)k, k=0,1,2…
当分别取r=0.0168 , 0.0055和-0.0450时，山猫的数量在25年内不同的环境下的数量演变为。
年较好中等较差。
从上可以得出结论：
1） 在较好的自然环境下即r=0.0168时，xk单调增趋于无穷大，山猫的数量将无限增长；
2） 在中等的自然环境下即r=0.0055时，xk单调增并且趋于稳定值；
3） 在较差的环境中即r=-0.0450时，xk单调衰减趋于0，山猫将濒临灭绝。
若每年捕获3只，b=－3，则列式为。
xk+1=(1+r)xk－b
则山猫在25年内的演变为。
年较好中等较差。
由图上可知，无论在什么环境下，如果每年捕获山猫3只，单调减趋于0，那么最终山猫的数量都会灭绝，在较差的环境中第20年就会灭绝。
同理，如果每年人工捕获山猫1只，那么山猫在不同环境中的演变为。
年较好中等较差。
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