(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。
1．已知集合，则。
2．命题“”的否定是。
3. 已知复数为虚数单位)，则。
4. 已知等差数列满足，则该数列的前9项和。
5．4张卡片上分别写有数字0，1，2，3，从这4张卡片中一次随机。
抽取不同的2张，则取出的卡片上的数之差的绝对值等于2的概。
率为。6. 某校举行2023年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如。
右上茎叶统计图所示，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数。
据的平均值为。
7．执行右图所示的程序框图，则输出的的值是。
8．已知向量，若向量与向量垂直，则实。
数的值为。9. 在平面上，若两个正方形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1：4；
类似地，在空间，若两个正方体的棱长的比为1：2，则它们的体积比。
为。10．若的最小值为，其。
图象相邻最高点与最低点横坐标之差为，且图象过点，则其解析式是。
11.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆。
的左顶点为，左焦点为，上顶点为，若，则椭圆的离心率是。
12.与直线相切，且与圆相内切的半径最小的圆的方程。
是。13.已知函数，若，且，则的最小值是。
14.设等差数列满足：公差，，且中任意两项之和也是该数列中的一项。 若，则的所有可能取值之和为。
二、解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。
15．(本小题满分14分)
如图，正三棱柱中，点是的中点。
ⅰ）求证： 平面；
ⅱ）求证：平面。
16．(本小题满分14分)
如图，在中，边上的中线长为3，且，．
ⅰ）求的值；
ⅱ）求边的长．
17．(本小题满分14分)
某市出租汽车的收费标准如下：在3以内(含3)的路程统一按起步价7元收费，超过3以外的路程按2.4元/收费。
而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用约为2.3元；二是燃油费，约为1.
6元/；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为100时，折旧费约为0.1元。 现设一次载客的路程为。
(ⅰ)试将出租汽车一次载客的收费与成本分别表示为的函数；
(ⅱ)若一次载客的路程不少于2,则当取何值时，该市出租汽车一次载客每的收益。
)取得最大值？
18．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.
ⅰ)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；
(ⅱ)过点作直线交于点，记的外接圆为圆。
1 求证：圆心在定直线上；
2 圆是否恒过异于点的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由。
19．(本小题满分16分)
已知为上的偶函数，当时，.
ⅰ)当时，求的解析式；
ⅱ)当时，试比较与的大小；
ⅲ)求最小的整数，使得存在实数，对任意的，都有。
20．(本小题满分16分)
已知数列满足，，.
(ⅰ)求，的值；
(ⅱ)设，，证明： 是等差数列；
(ⅲ)设，求数列的前项和。
数学附加题部分。
本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题] 在a、b、c、d四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分。请把答案写在答题纸的指定区域内。
b．（选修4—2：矩阵与变换）
已知矩阵=，求的特征值、及对应的特征向量、.
c．（选修4—4：坐标系与参数方程）
已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数)，试判断与的位置关系。
必做题] 第题，每小题10分，计20分。请把答案写在答题纸的指定区域内。
22．（本小题满分10分）
甲、乙等五名深圳大运会志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
ⅰ)求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；
ⅱ)设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．
23．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱中，∠90°，30°，，是棱的中点。
（ⅰ）求证：⊥；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值。
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