2014届高三数学试题(理科）
出卷人： 班别姓名学号： 分数：
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
1．集合，，则（ ）
a． bcd．
2. 已知复数(为虚数单位），则复数在复平面上所对应的点位于（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限。
3. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为则抛物线的方程是( )
a. b. c. d.
4.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为。
a. b.
c. d.
5.已知向量，则。
a． b． c． d．3
6.设随机变量服从正态分布，若，则（ ）
a． 3bc．5d．
7．在△abc中，已知b＝4 ，c＝2 ，∠a＝120°，则（ ）a．2 b．6 c．2 或6 d．2
8．函数若存在常数c ，对任意的存在唯一的使得。
则称函数在d上的几何平均数为c ．已知则函数在[1,2]上的几何平均数为（ ）
a． b．2 c．4 d．
二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．
一）必做题：第题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．在等差数列中，有，则此数列的前13项之和为。
10．展开式中，常数项是。
11．执行如图的程序框图，那么输出的值是 .
12.已知集合=， 若，给出下列四个命题：
其中所有正确命题的序号是。
13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为 .
二）选做题：第题为选做题，考生只能选做一题．
14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为，曲线：上的点到直线的距离为，则的最大值为。
15.(几何证明选讲选做题) 如图圆的直径，是的延长线上一点，过点作圆的切线，切点为，连接，若，则。
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分12分） 已知，（，其中）的周期为，且图像上一个最低点为。
1）求的解析式； （2）当时，求的值域．
17．(本小题满分13分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：
现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况。
1）求选出的4 人均选科目乙的概率；
2）设为选出的4个人中选科目甲的人数，求的分布列和数学期望．
18．（本题满分13分）
数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，且成等比数列．
1）求数列与的通项公式；
2）设，求数列的前项和．
19.（本小题满分14分）
如图5所示，在四棱锥p-abcd中，底面abcd为矩形，pa⊥平面abcd，点 e**段pc上，pc⊥平面bde
1）、证明：bd⊥平面pac；
2）、若pa=1，ad=2，求二面角b-pc-a的正切值；
20. （本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆o相切。
1）求椭圆c1的方程；
2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为点p，线段的垂直平分线交于点m，求点m的轨迹的方程；
21．（本小题满分14分）
设函数。ⅰ）若，求函数在[1，e]上的最小值；
ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围；
一、选择题．本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
二、填空题；本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．
16. （本小题满分12分）
解：（1）由的周期为，知，则有；
所以，因为函数图像有一个最低点，所以且3分。
则有4分。解得， 因为，所以 ……6分。
所以7分。2）当时8分。
则有，所以……11分。
即的值域为12分。
17. （本小题满分12分）
解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件，从第二小组选出的2人选科目乙””为事件。由于事件、相互独立，且4分。
所以选出的4人均选科目乙的概率为。
6分。2）设可能的取值为0,1,2,3.得。
， 9分。
的分布列为
的数学期望13分。
18．（本题满分13分）
解析：（1）当，时。
又，也满足上式，所以数列{}的通项公式为。
设公差为，则由成等比数列。
得（舍去）或 ，所以数列的通项公式。
2）由（1）可得，
两式式相减得。
20（本小题满分14分）
解：（1）由直线与圆相切，得，即。 （2分）
由，得，所以3分）
所以椭圆的方程是4分）
2）由条件，知，即动点m到定点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义得点m的轨迹的方程是7分）
21. (本小题满分1４分)
1) 证：由题意，即， …1分。
……2分。
当时3分。4分。
－②，得 …6分。
……7分。
(2) 解：由(1)知，，要使对一切成立，即对一切成立8分。
对一切恒成立，只需，……10分
单调递增，∴当时，. 12分，且13分。
综上所述，存在实数满足条件。 …14分。
21．（本小题满分14分）
解： (1)，…1分。
依题设，有，即，……2分。
解得………3分。
4分。2)方程，即，得， …5分。
记，则。 …6分。
令，得………7分。
当变化时，、的变化情况如下表：
当时，f(x)取极小值；当时，f(x)取极大值………8分。
作出直线和函数的大致图象，可知当或时，它们有两个不同的交点，因此方程恰有两个不同的实根， …9分。
3),得，又。
10分。由，得，……11分。
即………12分。
又………13分。
即，故的整数部分为． …l4分。
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