一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
1．设，则当充分大时，下列正确的有（ ）
a） （b） （cd)
详解】因为，所以，，当时，有，即，取，则知，所以选择（a）
2．下列曲线有渐近线的是。
ab）cd）
分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以．
详解】对于，可知且，所以有斜渐近线。
应该选（c）
3．设，则当时，若是比高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）
abc） （d）
详解】只要熟练记忆当时，显然，应该选（d）
4．设函数具有二阶导数，，则在上（ ）
a）当时， （b）当时，
c）当时， （d）当时，
分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点及常数，恒有，则曲线是凸的．
显然此题中，则，而，故当时，曲线是凹的，即，也就是，应该选（d）
详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凹的，从而，即，也就是，应该选（d）
5、设则（ ）
a) (b) (c) (d).
6、设，则级数( )
(a) 发散。 (b) 条件收敛。 (c) 绝对收敛。 (d) 无法判断。
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。 把答案填在题中横线上）
7、设，则 。
8．设d是由曲线与直线及所围成的有界区域，则d的面积为。
详解】9．设，则。
详解】．所以。
10．二次积分。
详解】三、解答题。
11．（本题满分10分）
求极限．分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．
详解】12、设，求。（本题6分）
解：，即。 （
等式（※）两边再对x求2阶导数得：
令，得。等式（※）两边对x求4阶导数得：
令，得。16．（本题满分10分）
设平面区域．计算。
详解】由对称性可得。
17．（本题满分10分）
设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．
详解】设，则，由条件，可知
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：
其中为任意常数．
对应非齐次方程特解可求得为．
故非齐次方程通解为 ．
将初始条件代入，可得．
所以的表达式为．
18．（本题满分10分）
求幂级数的收敛域、和函数．
详解】由于，所以得到收敛半径．
当时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为．
令和函数，则。
19．（本题满分10分）
设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：
详解】1）证明：因为，所以．
即．2）令，则可知，且，因为且单调增加，所以．从而。
也是在单调增加，则，即得到。
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