数学二模拟试题（一）
一、选择题1～8小题，每小题4分，共32分，在每小题給出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
1）设，则当时，是的。
a）等价无穷小量b）同阶但非等价无穷小量。
c）高阶无穷小量d）低阶无穷小量。
2）设具有一阶连续导数，，则是在处可导的。
a）必要但非充分条件b）充分但非必要条件。
c）充分且必要条件d）既非充分也非必要条件。
3）若＞0，＞0，则。
a）＜0，＜0b）＜0，＞0
c）＞0，＜0d）＞0，＞0
a） （bc） （d）
5）设函数在点的两个偏导数和都存在，则。
a）在点p必可微b）在点p必连续。
c）和都存在 （d）存在。
ab）cd）
7) 已知向量组α1=(a2,1,a),α2=(3a-2,1,2a-1),α3=(1,1,1),r(α1,α2,α3)=2,a=（
a)-1. (b)1或1/2. (c) 1/2d) 1.
8) 设a,b,c,d都是n阶矩阵，满足abcbd=e,则
a) dabc= cbdab) (bcb)-1=ad .
c) abc=bdd) a-1b-1c-1b-1d-1=e.
二、填空题：6小题，每小题4分，共24分 ，把答案填在题中横线上。
10）已知，则。
11）设，则。
12）微分方程的通解为。
13）设方程确定，则。
14) 设α=(1,2,1)t,β=0,1,1)t, a=e-2αβt.则a的特征值为。
三、解答题：15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15）（本题满分10分）
求证：当时，
16）（本题满分11分）
设在内连续，且。
求证：（ⅰ若为偶函数，则也是偶函数。
（ⅱ）若单调不增，则单调不减。
17）（本题满分10分）
已知及，求。
18）（本题满分10分）
求通过点的曲线方程，使曲线上任意点处的切线在轴上的截距等于该点的横坐标的立方。
19）（本题满分11分）
设，其中函数，具有二阶连续偏导数，求。
20）（本题满分10分）
计算二重积分，其中 ，。
21）（本题满分10分）
设在上连续，且，证明：在内，方程。
恰有一个根。
22）（本题满分11分）
已知a的列向量组为α1,α2 ,α3,,α4 ,α5 ,齐次方程组ax=0有基础解系，
1,-2,3,0,4)t,(-2,4,0,0,1)t,(3,-6,2,3,3)t,求α1,α2 ,α3,,α4 ,α5的一个极大线性无关部分组，并且把其他向量用它线性表示。
23)（本题满分11分）
设(ⅰ)和(ⅱ)是两个四元齐次线性方程组。已知η1,η2,η3是(ⅰ)的一个基础解系，ξ1,ξ2是 (ⅱ的一个基础解系．
证明(ⅰ)和(ⅱ)有公共非零解。
设η1=(1,0,1,1)t,η2=(-1,0,1,0)t,η3=(0,1,1,0)t,ξ1=(0,1,0,1)t,ξ2=(1,1,-1,0)t 求， (和(ⅱ)的公共解．
数学二模拟试题（二）
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
1）设其中是有界函数，则在处。
极限不存在极限存在，但不连续。
连续，但不可导。 可导。
2）设，则在处。
的导数存在，且。 的导数不存在。
取得极小值。 取得极大值。
3）曲线与轴所围成的图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为。
4）设线性无关的函数都是的解，是任意常数，则该微分方程通解是。
5）二元函数在点处具有。
连续，偏导数存在。 连续，偏导数不存在。
不连续，偏导数存在。 不连续，偏导数不存在。
7) 已知a和b都是n阶矩阵，使得e+ab可逆则( )成立。
a) (e+ab)a(e+ab)-1=ab) (e+ab)-1b(e+ab)=b.
c) (e+ab)-1a(e+ba)=ad)(e+ab)-1a(e+ba)=b.
(8) 1,2,3是齐次线性方程组ax=0的三个不同的解，给出四个断言：
如果1,2,3和ax=0的一个基础解系等价，则1,2,3也是ax=0的基础解系。
如果1,2,3是ax=0的一个基础解系，则ax=0的每个解都可以用1,2,3线性表示，并且表示方式唯一。
如果ax=0的每个解都可以用1,2,3线性表示，并且表示方式唯一，则1,2,3是ax=0的一个基础解系。
如果n-r(a)=3,则1,2,3是ax=0的一个基础解系。
其中正确的为。
a). bcd).
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。把答案填有题中横线上。
10）设，其中可导，且，则。
12）设具有二阶连续导数，而满足方程，则。
13）微分方程的通解为。
14) 3阶实对称矩阵a相似于矩阵 0 2 4 ,λ是实数。则a2+a+λe是正定矩阵的充分必要条件是λ满足。 0 0 -1
三、解答题：15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15）（本题满分10分）
设处二阶可导，且，已知。
在处可导，求a和。
16）（本题满分11分）
证明：曲线（x＞0） 上任一点处切线与两坐标轴所围成的直角三角形面积恒为2。
17）（本题满分10分）
设连续，，证明：
18）（本题满分10分）
设连续，满足，求。
19）（本题满分11分）
设函数内具有二阶导数，且满足等式，求证：
20）（本题满分10分）
求函数在约束条件下的最小值（已知存在）
21）（本题满分10分）
计算二重积分，其中。
22)（本题满分11分）
设a=(α1,α2,α3)是53实矩阵，实向量η1,η2构成atx=0的基础解系，证明(α1,α2,α3,η1,η2)是可逆矩阵。
a= 1 2 -2 -1 0 ,求ax=0的单位正交基础解系。
23) 设a是3阶矩阵，α1,α2,α3都是3维非零列向量，满足 aα1=2α1, aα2=2α2-α1, aα3=α3,1）证明α1,α2,α3线性无关。
2) 记p=(α1,α2,α3),构造矩阵b,使得ap=pb.
3) 证明a不相似于对角矩阵。
4) 求a的特征向量？
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