概率基础是集合。
微分学研究确定性变量。概率论讨论不确定性变量，即随机变量。
随机变量取值的背后，如影随行地跟着这个值出现的概率。这样一来，不确定性过程的讨论就要复杂一些。
做某个试验，一个可能的结果称为一个“基本点”；所有可能的结果自然形成一个集合。称为样本空间。样本空间内由基本点组成的子集合称为“事件”。 基本点”又称为“基本事件”。
在微积分中，我们把（实轴上的）点与实数视为一件事。高等微积分的第一章，讲实数集的完备性，证明全体实数与数轴上的点成一一对应。学习概率，要下意识地把“事件”与集合当一回事。
为了量化研究，人们在样本空间上建立基本点与数之间的一一对应关系，记为x或y，……称为随机变量。所谓“随机向量”，只不过是同时研究定义在样本空间上的两个或若干个随机变量。
离散型随机变量 ——如果样本空间内只有有限个基本点，相应的随机变量只能取有限个值；或者样本空间内的基本点能与自然数集建立一一对应关系，相应的随机变量取值为一个数列；都称为离散型随机变量。
画外音：集合理论把无穷集分为两类。一类叫可列集。其元素能与自然数集建立一一对应关系。另一类叫不可列集，其元素能与区间（0，1）建立一一对应关系。）
只要列出离散型随机变量x的全部取值及其相应的概率，即给出“分布列”，就完整地给出了一个一维的不确定性数学模型。二维情形则是用矩阵给出随机向量（x，y）能取得的每一个随机点（x，y）及其概率。在此基础上展开讨论。
从根本上说，用不着微积分知识。因而有的教材把离散型随机变量单列在前。
每作一次试验，当然只能有一个结果。这个基本点属于哪个事件，就说“该事件发生”。这可以简洁地归纳为“一点出现，事件发生”。由此可以更深刻地理解事件之间的关系。
1）包含 ——a事件发生则b事件一定发生 。 a事件的基本点必然是b事件的基本点。a含于b，或b包含。
概率 p(a) ≤p(b)
2）互斥（不相容）——a事件发生则b事件一定不发生。 a的基本点都不属于b ，或a与b的交是空集。
a 与 b 互斥，则概率 p(ab) =0
互斥的特殊情形是互逆。
a 事件与 b 事件互逆 ——a与b互斥，且a与b的并集是整个样本空间。
为了方便，把 a 的逆事件记为 aˉ ；概率 p(a)+ p(aˉ) 1
3）和事件 a + b ——相应于集合 a 与 b 的并集。
和事件 a+b 发生的要点是“或”。或者a事件发生，或者b事件发生，或者a事件b事件同时发生。
概率 p(a+b) =p(a) +p(b)－ p(ab)
4）积事件ab ——相应于集合 a 与 b 的交集。
积事件ab发生的要点是“都”。 a 事件 b 事件同时发生。
或”与“都”相互为逆。
和事件 a+b 的逆为积事件 aˉbˉ——a 事件 b 事件都不发生。
积事件 ab 的逆为和事件 aˉ+ bˉ——或 a不发生，或 b不发生，或 a 与 b 都不发生。
潜台词：“或”的逆是“都不”。 都”的逆是“或不”）
可以类似讨论多个事件，乃至可列无穷多个事件的和事件与积事件。相应公式称为德·摩根法则。
5）差事件a—b ——
a事件发生而b事件不发生。相当于a—ab，等价于积事件ab
概率 p (a－b) =p(a)－ p(ab)
6）相互独立 ——若对于事件a，b成立概率公式 p(ab) =p(a) p(b)，就称事件a，b相互独立。
定理事件a，b相互独立，等价于事件aˉ与bˉ相互独立；等价于事件a与bˉ相互独立；还等价于事件aˉ与b相互独立。
三个事件a，b，c相互独立 ——它们两两独立，且满足p(abc) =p(a) p(b) p(c)
可以用归纳法定义n个事件相互独立。
用文氏图可以形象表示前5个在集合背景下的关系。但文氏图不能表式用概率公式定义的“相互独立”概念。
8）加法定理。
如果事件a，b互斥，显然有 p(a+b) =p(a) +p(b)，一般情况下，可以作互斥分解。
a + b =（a－ab）+（b－ab）+ ab 从而 p(a+b) =p(a) +p(b)－p(ab)
进一步有 p(a+b+c) =p(a) +p(b)+ p(c)－p(ab) －p(ac) －p(bc) +p(abc)
例 1 以a表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其逆事件aˉ为。
a）“甲种产品滞销，乙种产品畅销” （b）“甲乙两种产品均畅销”
c）“甲种产品畅销d）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”
分析 a 是个积事件。“都”的逆是“或不”；应选（d）。
例2 已知事件a与b同时发生时，事件c一定发生。则。
a）p(c) ≤p(a) +p(b) －1 （b）p(c) ≥p(a) +p(b) －1
c） p(c) =p(abd）p(c)= p(a+b)
分析由已知得c包含ab ；故 p(c)≥p(ab) ，顺便再进一步观察。
p(ab) =p(a) +p(b) －p(a+b) ≥p(a) +p(b) －1 应选（b）。
例3 设随机事件 a ，b及其和事件 a + b 的概率分别是 0.4，0.3 和 0.6 ，若 bˉ表示 b 的对立事件，那么积事件 abˉ的概率 p(abˉ) 0.3
分析 p(ab) =p(a) +p(b)－p(a + b) =0.1 故p(abˉ) p(a)－p(ab) =0.3
或利用互斥分解 a = ab + a bˉ，p(a) =p(ab) +p(a bˉ) p(abˉ) 0.3
例4 若积事件ab出现的概率 p(ab) =0，则。
a）a与b不相容 （即a与b互斥） （b）ab是不可能事件。
c）ab未别是不可能事件d）或p(a) =0 ，或 p(b) =0
分析已知是概率条件，而“不相容”是用事件定义的。二者没有关系。（a）错。
0 概率事件不一定是不可能事件。（b）错。（d）显然荒谬。 应选（c）。
例5 设a和b是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是。
（a） aˉ与bˉ不相容b）aˉ与bˉ相容。
c） p(ab) =p(a) p(bd）p (a－b) =p(a)
分析和事件a+b的逆为积事件 aˉbˉ 故仅当a与b构成完备事件组，即a、b互逆时，aˉ与bˉ才一定不相容。本题不一定能满足此条件，故（a）、（b）都错。
c）是相互独立的定义条件，与“不相容”无关。
因为 a 与 b 不相容，即 a b = 所以 a－b = a—ab = a ，应选（d）。
例6 对于任意两事件 a 和 b ，若 a b≠ ，则 （a）a与b一定相互独立。
b）a与b可能独立。 （c）b与b一定独立。 （d）a与b一定不独立。
分析已知事件关系，而“相互独立”是用概率来定义的 ，二者没有关系。应选（b）。
潜台词：啊，三个例题同含有一个知识点。）
例7 已知随机事件a，b满足条件 p(ab) =p(aˉbˉ) 且p(a) =p ，求p(b)
分析由已知得 p(ab) =p(aˉbˉ) p（(a+ b)ˉ）1－p(a+b)
即 p(ab) =1－p(a) －p(b) +p(ab) 故 p（b）= 1－p(a)
例 8 将一枚硬币独立地掷两次。记事件a1=，a2 =，a3 = a4 = 则事件。
a）a1 ，a2 ，a3 相互独立。 （b）a2 ，a3 ，a4 相互独立。
c）a1 ，a2 ，a3 两两独立。 （d）a2 ，a3 ，a4 两两独立。
分析四个事件的概率皆不为 0 ，但显然 p（a1 a2 a3）= 0 ，p(a2 a3 a4) =0 ，故答案只能是两两独立。同理，p（a3 a4）= 0 ， a 3 与 a 4 不能相互独立。应选（c）。
例9 试证明，事件 a ，b 相互独立等价于 aˉ与 b 相互独立。
分析选择 p(b) =p(ab) +p(aˉb) ，若已知 p(ab) =p(a) p(b) ，则。
p (aˉb) =p(b)－p(ab) =p(b)－p(a) p(b) =p(b) (1－p(a)) p(b)p(aˉ)
若已知 p(aˉb) =p（b）p(aˉ) 同样选择 p(b) =p(ab) +p(aˉb)
p(ab) =p(b) －p(aˉb) =p(b) －p(aˉ)p（b) =p(b)(1－p(aˉ) p(a) p(b)
画外音：循环证明（7）中的“相互独立四等价”（条件），那是绝好的基本练习。）
经典概型学重点。
如果样本空间只有有限个基本点，且每个基本事件发生的概率相同，则定义事件a发生的概率
p(a) =a所含基本点(有利点)数∕基本点总数。
这样定义的概率称为古典概率。相应的模型称为古典概型。
经典概率模型资料浩如烟海，思维处理方法千姿百态。学习时要着眼应用，熟悉典型。
1. 抛球模型 ——把 n 个小球等可能地投入n个（n≤n）空盒中，每个球的落点有n个结果。基本点总数为 n的 n 次方。
1） 若 a =“n个小球恰好都落在一个指定的盒中” ，则显然有
p(a) =1∕n的n次方
2） 若 a =“n个小球恰好各在一个盒中” ，先取n个（n≤n）空盒中的任意 n 个盒，再考虑排序，则有利点数为 （n个中取n个的组合数）× n！
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