西南交通大学数学竞赛非数学类模拟题。
1.已知，求、。
2.设函数y=y(x)由方程组所确定，试求。
3.设曲线（）与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面图形，试问：
（1）当为何值时，该图形绕轴一周所得的旋转体体积最大？
（2）最大体积为多少？
4. 求。5.设函数f(x)在x=0处连续，求极限其中。
6.设函数在上可导，且满足，其中，。求。
7.设，其中具有二阶连续偏导数，具有二阶连续导数，求。
8. 在椭球面上求一点，是函数在该点沿方向的方向导数最大。
9. 计算。
10.设f(u)具有二阶连续导数，而满足方程，求f(u)。
西南交通大学数学竞赛非数学类模拟题参***。
1. 解：，2. 解：对得，
于是， 当t=0时，y=1，，
3. 解：当时，由，解得点的坐标为，故直线。
的方程为。 于是，平面图形绕轴一周所得的旋转体体积为：
上式两边对求导：（）令得到，由于是当时的唯一驻点，且由问题的实际意义可知存在最大体积，故在时取最大值，其最大体积为：
4.解：令，则。
5. 分析：对于积分中被积函数或其主要部分为复合函数，可以考虑先做变量代换使之成为简单形式。本题极限是商的形式，可以想到用洛必达法则。
解： 6. 解：，依题意，得。方程两边求导数得。
即，则。由得，所以，。
7. 解：，8. 解：函数的方向导数表达式为：
其中：，，为方向的方向余弦。 因此，由题意即求函数在条件下的最大值。 设。
则由得以及，即得驻点为与。 因最大值一定存在，故只需比较，的大小，由此可知即为所求。
9. 解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得。
10. 解：，代入原方程得即。解得。
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