一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分，要求写出重要步骤。）
1）.求；解：方法一（用两个重要极限）：
方法二（取对数）：
2）.求；解：方法一（用欧拉公式）令。
其中，表示时的无穷小量，方法二（用定积分的定义）
3）已知，求。
解： 二．（本题10分）求方程的通解。
解：设，则。
是一个全微分方程，设。
方法一：由得。
由得。方法二：
该曲线积分与路径无关。
三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得。
证明：由极限的存在性：
即，又，①由洛比达法则得。
由极限的存在性得。
即，又，②再次使用洛比达法则得。
由①②③得是齐次线性方程组的解。
设，则，增广矩阵，则。
所以，方程有唯一解，即存在唯一一组实数满足题意，且。
四．（本题17分）设，其中，，为与的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
解：设上任一点，令，则椭球面在上点m处的法向量为：
在点m处的切平面为：
原点到平面的距离为，令。
则，现在求在条件，下的条件极值，令。
则由拉格朗日乘数法得：
解得或，对应此时的或。
此时的或。又因为，则。
所以，椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：，
五．（本题16分）已知s是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（）取上侧，是s在点处的切平面，是原点到切平面的距离，表示s的正法向的方向余弦。计算：
解：（1）由题意得：椭球面s的方程为。
令则，切平面的法向量为，的方程为，原点到切平面的距离为。
将一型曲面积分转化为二重积分得：记。
2)方法一：
方法二（将一型曲面积分转化为二型）：
记，取面向下，向外，由高斯公式得：
求该三重积分的方法很多，现给出如下几种常见方法：
1 先一后二：
先二后一：
广义极坐标代换：
六．（本题12分）设f(x)是在内的可微函数，且，其中，任取实数，定义证明：绝对收敛。
证明： 由拉格朗日中值定理得：介于之间，使得。
又得。级数收敛，级数收敛，即绝对收敛。
七．（本题15分）是否存在区间上的连续可微函数f(x)，满足，请说明理由。
解：假设存在，当时，由拉格朗日中值定理得：
介于0，x之间，使得，同理，当时，由拉格朗日中值定理得：
介于x，2之间，使得。
即。显然，
又由题意得。
即， 不存在，又因为f(x)是在区间上的连续可微函数，即存在，矛盾。
故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数f(x)。
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