选修2-1第三章空间向量与立体几何、
一。知识网络。
二。公式定理。
1.运算律。
1）加法交换律：
2）加法结合律：
3）数乘分配律：
2.共线向量定理。
对空间任意两个向量∥的充要条件是存在实数使。
推论：如果为经过已知点a且平行于已知非零向量的直线，那么对任意一点o，点p在直线上的充要条件是存在实数t ,满足等式。
其中向量叫做直线的方向向量。
3.共面向量定理。
如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对，使。
推论：空间的一点p位于平面mab内的充要条件是存在有序实数对，使。
或对空间任意一点o，有。
推论：对空间任意一点o和不共线的三点a,b,c满足关系式。
(其中)的四点p,a,b,c共面。
当且仅当时，四点p,a,b,c共面。
4.空间向量基本定理。
如果三个向量不共面，那么对于空间任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使。
推论：设o,a,b,c是不共面的四点，则对空间任意一点p,都存在唯一实数组，使。
5.向量的直角坐标运算。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
6.夹角和距离公式。
设则。在空间直角坐标系中，已知则。
即。7.中点坐标公式。
则中点， 三。典例精析。
例1.若是空间的一个基底，判断能否作为该空间的一个基底。
解：假设共面，则存在实数使得。
为基底，不共面，，此方程组无解。
不共面。可以作为空间的一个基底。
例2.已知。
1）若∥，求；
2）若⊥，求。
解： 1）∥，解得。
2）⊥，解得。
例3.如图，在四棱锥o-abcd中，底面abcd是边长为1的菱形， oa⊥底面abcd,oa=2,m为oa的中点，n为bc的中点。
1） 证明：直线mn∥平面ocd
2） 求异面直线ab与md所成角的大小o
3） 求点b到平面ocd的距离。
解：作ap⊥cd于点p，如图，分别以ab、ap、ao所在
的直线为轴轴、轴建立空间直角坐标系m
则adb nc
1) 证明。
设平面ocd的法向量为，则。
取。平面ocd.
2) 设ab与md所成的角为。
所成角的大小为。
3）设点b到平面ocd的距离为，则为在向量上的投影的绝对值。
由，点b到平面ocd的距离为。
四。东莞质检试题。
1）客观题。
1.（08年）已知平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)，设，则等于( )
a. b. c. d.
2.(08年)设m是内的一点，且，.若，的面积分别是，则的最小值是( )
a.8 b.9 c.16 d.18
3.(11年)已知，则向量与的夹角为( )
a. b. c. d.
4.(12年)点关于轴对称的点的坐标为 （
a. b. c. d.
2）解答题：
5.（08年）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，且是的中点。
1）建立适当的坐标系，写出点的坐标；
2）求异面直线与所成的角的余弦值； p
3）求二面角的平面角的余弦值。mad
bc6.(10年)如图，棱锥的底面是矩形，底面，,为的中点。
1）求证：面；
2）求二面角的余弦值；
3）设为的中点，在棱上是否存在点，使∥面？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由。pme
adbc
7.(12年)如图，四棱锥的底面为一直角梯形，其中，底面，是的中点。
1）证明：直线∥平面；
2）若直线平面。
求的长；求异面直线与所成角的余弦值。pe
dcab
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