1、（2023年南师附中）已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为__4或5或32___
析：本题可以逆向推导。由可得。（1）、若则或（舍），则或5；（2）、若，则或0（舍），则。
2、（2023年泰兴）已知数列，，当整数都成立，则___21___
析： 即（n2），数列{}从第二项起构成等差数列，
3、（2023年泰兴）王老师从2023年1月1日开始每年的1月1日到银行新存入a元（一年定期），若年利率r保持不变，且每年到期存款及利息均自动转为新的一年定期，到2023年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可以取回元。
答案： 析：复利问题，本题为等比数列模型。==
4、（南师附中最后一卷）已知数列是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中a1＝3，b1＝1，a2＝b2，3a5＝b3，若存在常数u，v对任意正整数n都有an＝3logubn＋v，则u＋v
答案：65、（泰州期末）10.在集合的前项和为，已知成等差数列，则等比数列{}的公比为 .
提示：设等比数列{}的公比为，由，得。
即，.7、（南师大信息卷）如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第5个数应是2012.
提示：由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第63行最左边的数是，所以，从左至右的第5个数应是2016-4=2012.
8、（南师大信息卷）已知数列的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推，若，则= 211 .
提示：∵，9、（南师大信息卷）各项都为正数的数列，其前项的和为，且，若，且数列的前项的和为，则=.
提示：,10、（南师大信息卷）已知{}是等比数列，，则的取值范围是 [4,8) .
提示： 因为{}是等比数列，所以可设。因为，所以，解得。所以。因为，所以。
11、（苏锡常一模）等差数列中，已知，，则的取值范围是。
答案： 12、（苏锡常一模）设表示正整数的个位数，，则数列的前项和等于。
答案：213、（南通三模）各项均为正数的等比数列满足，若函数的导数为，则= ▲
解析：考查等比数列的基本知识、导数的运算。各项为正的等比数列满足：推算出，所以，又，将代入得，所以。 答案：
13、（盐城二模）在等比数列中， 已知， ,则。
答案：2014、（南京二模）设是等差数列的前n项和，若，则。
答案：15、（苏州调研）在等比数列中，若，则___
答案：416、（南京一模）记等比数列的前项积为，已知，且，则。
答案：17、(南通一模)观察下列等式：，…
猜想。答案：
解析：法一：先看出等式右边依次为：12，(1+2)2，(1+2+3)2，(1+2+3+4)2；
再归纳出所求式子为；最后用等差数列求和公式即得。
法二：猜想数列：1，3，6，10，…的通项公式。
由猜想出。作数列：1，3，6，10，…的差分数列，知其为等差数列，…
18、（江苏最后1卷）13．将所有的奇数排列如右表，其中第行第个数表示为，例如．若，则 ▲
19．【解析】本题主要考查数列的通项．
答案】34解答如下：
可以求得通项，所以且，从而，解得，于是，故。
20、（常州期末）已知等比数列的各均为正数，且，则数列的通项公式为 。
答案： 21、（苏北四市）已知等差数列的前ｎ项和分别为和，若，且是整数，则ｎ的值为。
答案】解：设则可求得，，∴当时，是整数。
说明：此解法学生须知：数列为等差数列的一个充要条件是其前项和。
22、（南通一模）各项均为正偶数的数列中，前三项依次成公差为的等差数列，后三项依次成公比为的等比数列，若，则的所有可能的值构成的集合为。
答案】解：设这四个数为，，，其中，均为正偶数，则，整理得，注意体会这里用“”而不用“”的好处，实际是一种估算能力)
所以，即，所以的所有可能值为24，26，28，当时，，；
当时，（舍去）；
当时，所以q的所有可能值构成的集合为。
23、（盐城二模）在等差数列中，，，记数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最小值为。
答案】5解：由题设得，∴可化为，令，则，当时，取得最大值，由解得，∴正整数的最小值为5。
24、（百校联考）已知无穷数列的各项均为正整数，为数列的前项和．
1）若数列是等差数列，且对任意正整数都有成立，求数列的通项公式；
2）对任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与一起恰好是1至全体正整数组成的集合．
（i）求的值；（ii）求数列的通项公式．
解：（1）设无穷等差数列的公差为，则， 所以。且。
因为对于一切正整数n都成立，所以4分。
因为数列的各项均为正整数，所以。
由①，可得或．
当时，由④得，且同时满足②③．
当时，由②得，且同时满足③④．
因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为或 ……6分。
2）（i）记，显然7分。
对于，有。故，所以9分。
（ii）由题意可知，集合按上述规则，共产生个正整数．……10分。
而集合按上述规则产生的个正整数中，除这个正整数外，还有，共个数．
所以12分。
又，所以14分。
当时15分。
而也满足。所以，数列的通项公式是16分。
25、（天一）已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足。
．数列满足，为数列的前n项和．
1）求数列的通项公式和数列的前n项和；
2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有。
的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）（法一）在中，令，得即2分。
解得，， 又时，满足， …3分。
5分。法二）是等差数列，2分。
由，得。又，，则3分。
求法同法一)
2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立6分。
等号在时取得。
此时需满足7分。
当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立8分。
是随的增大而增大，时取得最小值．
此时需满足9分。
综合①、②可得的取值范围是10分。
若成等比数列，则，即12分。
由，可得，即，14分。
又，且，所以，此时．
因此，当且仅当，时，数列中的成等比数列．…16分。
另解：因为，故，即，（以下同上14分]
26、（南京三模）已知数列的奇数行项是公差为的等差数列，偶数项是公差为的等差数列，是数列的前项和，．
1）若，求；
2）已知，且对任意，有恒成立，求证：数列是等差数列；
3）若，且存在正整数、，使得．求当最大时，数列的通项公式。
27、（南通三模）已知α，β是方程x2－x－1=0的两个根，且α＜β数列，满足a1=1，a2=β，an+2=an+1+an，bn=an+1－αan(n∈n*).
（1）求b2－a2的值；
（2）证明：数列是等比数列；
（3）设c1=1，c2=-1，cn+2+cn+1=cn（n∈n*），证明：当n≥3时，an=(-1)n－1（αcn-2+βcn）．
解：因为α，β是方程x2－x－1=0的两个根，所以α+β1，α·1，β2=β+1.
（1）由b2= a3－αa2= a1+a2－αa2=1+ a2－αβ2+ a2，得b2－a2=24分。
（2）因为= =
8分。又b1= a2－αa1=β－0，所以是首项为β－α公比为β的等比数列． …10分。
（3）由（2）可知 an+1－αan=（βn－1． ①
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