2023年广东各市理数二模试题汇编2：概率统计（解答题）
参考数据：1.（广州二模）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取个作为样本，称出它们的重量（单位：
克），重量分组区间为，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图。（1）求的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为。
）3）从盒子中随机抽取个小球，其中重量在内的小球个数。
为，求的分布列和数学期望。
解：(1)，…2分。
2）（克）…3分。
由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克。…4分。
3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，则。…5分。
的取值为6分，.…10分。
∴的分布列为：
12分。2.（佛山二模）“行通济”是广东佛山一带在元宵节期间举行的游玩祈福活动，每到这一天，家家户户都会扶老携幼，自清晨到夜幕，举着风车、摇着风铃、拎着生菜浩浩荡荡地由北到南走过通济桥，祈求来年平平安安、顺顺利利。
为了了解不同年龄层次的人对这一传统习俗的参与度，现随机抽取年龄在20~80岁之间的60人，并按年龄层次，，，绘制频率分布直方图如图所示，其中参与了2023年“行通济”活动的人数如下表。若规定年龄分布在岁的为“中青年人”，60岁以上（含60岁）为“老年人”.
1）根据已知条件完成下面的列联表，并判断能否有99%的把握认为“老年人”比。
中青年人”更认同“行通济”这一民俗？
2）用样本估计总体，从全佛山市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望。
答案：（1）有99%的把握认为“老年人”比“中青年人”更认同“行通济”这一民俗；
3.（湛江二模）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，吴老师采用a、b两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教学实验。为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下：
记成绩不低于90分者为“成绩优秀”。
1）在乙班样本的20个个体中，从不低于80分的成绩中随机抽取2个，记随机变量为抽到“成绩优秀”的个数，求的分布列及数学期望；
2)由以上统计数据填写下面列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀”与教学方式有关？
解：（1）由题意得1分。
………4分。
的分布列为：
…….6分。
2）根据列联表中的数据，由于，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关。……12分。
4.（深圳二模）某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏，规则如下：每人连续投掷5支飞镖，累积3支飞镖掷中目标即可获奖；否则不获奖。
同时要求在以下两种情况下中止投掷：①累积3支飞镖掷中目标；②累积3支飞镖没有掷中目标。已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数，且掷完3支飞镖就中止投掷的概率为。
(1)求的值；(2)记小明结束游戏时，投掷的飞镖支数为，求的分布列和数学期望。.
答案：（1）（2）
5.（惠州二模）在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．
1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
2）求随机变量的分布列和数学期望．
解：（1）、可能的取值为、、，且当或时，．因此，随机变量的最大值为．
有放回抽两张卡片的所有情况有种。
答：随机变量的最大值为，事件“取得最大值”的概率为． …4分。
2）的所有取值为．
时，只有这一种情况， …5分。
时，有或或或四种情况，…6分。
时，有或两种情况． …7分。
10分。则随机变量的分布列为：
因此，数学期望．……12分。
6.（茂名二模）某次数学考试中有三道选做题，分别为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题。甲、乙、丙三名考生选做这一题中任意一题可能性均为，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．（1）求这三个人选做同一道题的概率：
2）设为三个人中做选做题l的人数，求的分布列与均值；
7.（肇庆二模）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下列联表：
1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？
2）若采用分层抽样的方法从不喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？
3）从（2）随机抽取的5人中再随机抽取3人，该3人中女生的人数记为，求的数学期望。
解：（12分）
约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”. 4分）
2）男生抽取的人数有：（人），女生抽取的人数各有：（人）（6分）
3）由（2）得，男生抽取人数为2人，女生抽取人数为3人，的取值为1，2，3.（7分），所以的分布列为：
所以的数学期望为12分）
8.（韶关二模）袋中装有大小和形状相同的小球若干个黑球和白球，且黑球和白球的个数比为４:３从中任取2个球都是白球的概率为现不放回从袋中摸取球，每次摸一球，直到取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数。
1）求袋中原有白球、黑球的个数；（2）求随机变量的分布列和数学期望。
解：（1）依题意设袋中原有个白球，则有个黑球。
由题意知 ， 4分。
即，解得，即袋中原有3个白球和4个黑球。 5分。
2）依题意，的取值是。
即第1次取到白球， ，即第2次取到白球。
同理可得， 10分。
的分布列为：
12分。
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