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2023年佛山市普通高中高三教学质量检测。
数学 (理科)
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目。
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.请考生保持答题卷的整洁。考试结束后，将答题卷和答题卡交回。
参考公式： 圆台侧面积公式：.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，若，则实数的取值范围是。
abcd．
2．已知向量，则向量的夹角的余弦值为。
abcd．
3．在等差数列中，首项公差，若，则。
ab． cd．
4．若一个圆台的的正视图如图所示，则其侧面积等于。
a．6b．
cd． 5．已知为虚数单位，为实数，复数。
在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的。
a．充分而不必要条件b．必要而不充分条件。
c．充要条件d．既不充分也不必要条件。
6．函数的最小正周期为。
abcd．
7．已知函数，则对任意，若，下列不等式成立的是。
ab. cd.
8．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为。
a． b． c． d．
二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）
一)必做题(9～13题)
9. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各。
随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）.
分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则 .（填“”、或“＝”
10. 如果展开式中，第四项与第六项的系数相等，则展开式中的常数项的值等于。
11. 已知直线与轴，轴分别交于两点，若动点**段上，则的最大值为。
12. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 ．
13．若点在直线上，过点的直线。
与曲线只有一个公共点，则的最小值为。
(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)
14．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy中，点的直角坐标为。若以原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以是。
15．（几何证明选讲）如图，在中， /若，则的长为。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须。
写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本题满分12分）
在中，已知，.
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)若为的中点，求的长。
17．（本题满分14分）
某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
ⅰ）补全频率分布直方图并求、、的值；
ⅱ）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望。
18．（本题满分12分）
设数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，且成等差数列。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）记的前项和为，求。
19．（本题满分14分）
如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，都垂直于平面，且，是线段上一动点．
ⅰ）求证：平面平面；
ⅱ）若平面，试求的值；
ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．
20．（本题满分14分）
已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点，为椭圆上的动点。
ⅰ）求椭圆的标准方程；
ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；
ⅲ）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
21．（本题满分14分）
已知三次函数。
ⅰ）若函数过点且在点处的切线方程为，求函数的解析式；
ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；
ⅲ）当时，，试求的最大值，并求取得最大值时的表达式。
2023年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）
数学试题（理科）参***和评分标准。
一、选择题：（每题5分，共40分）
二、填空题（每题5分，共30分）
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分12分）
解：（ⅰ且2分。
3分。6分。
ⅱ）由（ⅰ）可得8分。
由正弦定理得，即，解得10分。
在中，所以12分。
17．（本题满分14分）
解：（ⅰ第二组的频率为，所以高为．频率直方图如下：
2分。第一组的人数为，频率为，所以．
由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为，所以．
第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以．
5分。ⅱ）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为，所以采用分层抽样法抽取18人，岁中有12人，岁中有6人6分。
随机变量服从超几何分布．，10分。
所以随机变量的分布列为。
12分。数学期望14分。
18．（本题满分12分）
解2分。由成等差数列得，，即，解得，故4分。
5分。法1：，
得，， ②得，
10分。12分。
法2：，设，记，则，10分。
故12分。19．（本题满分14分）
解：法1：（ⅰ连结，平面，平面，∴，又∵，平面，又∵，分别是、的中点，∴，平面，又平面，平面平面4分。
ⅱ）连结，平面，平面平面，，，故8分。
ⅲ）∵平面，平面，∴ 在等腰三角形中，点为的中点，∴，为所求二面角的平面角10分。
点是的中点，∴，所以在矩形中，可求得12分。
在中，由余弦定理可求得，二面角的余弦值为14分。
法2：（ⅰ同法1；
ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则，设点的坐标为，平面的法向量为，则，所以，即，令，则，故，平面，∴，即，解得，故，即点为线段上靠近的四等分点；故8分。
ⅲ），则，设平面的法向量为，则，即，令，则，，即，当是中点时，，则，二面角的余弦值为．--14分。
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