2024年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学。参***。
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法，每小题5分，共计70分。
二、解答题：
15．本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力。满分14分。
解：（1）由题设知，2）由。
故△abc是直角三角形，且。
16．本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考察空间想象能力和推理论证能力。满分14分。
证明：（1）在△pad中，因为e、f分别为。
ap，ad的中点，所以ef//pd.
又因为ef平面pcd，pd平面pcd，所以直线ef//平面pcd.
2）连结db，因为ab=ad，∠bad=60°，所以△abd为正三角形，因为f是ad的。
中点，所以bf⊥ad.因为平面pad⊥平面。
abcd，bf平面abcd，平面pad平面abcd=ad，所以bf⊥平面pad。又因为bf平面bef，所以平面bef⊥平面pad.
17．本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读能力及解决实际问题的能力。满分14分。
解：设馐盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得。
所以当时，s取得最大值。
由（舍）或x=20.
当时， 所以当x=20时，v取得极大值，也是最小值。
此时装盒的高与底面边长的比值为。
18．本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分。
解：（1）由题设知，所以线段mn中点的坐标为，由于直线pa平分线段mn，故直线pa过线段mn的中点，又直线pa过坐标原点，所以
2）直线pa的方程。
解得。于是直线ac的斜率为。
3）解法一：
将直线pa的方程代入。
则。故直线ab的斜率为。
其方程为。解得。
于是直线pb的斜率。
因此。解法二：
设。设直线pb，ab的斜率分别为因为c在直线ab上，所以。
从而。因此。
19．本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。
解： 1）由题意知上恒成立，因为a>0，故。
进而上恒成立，所以。
因此的取值范围是[
（2）令。若又因为，所以函数在上不是单调性一致的，因此。
现设；当时，
因此，当时，
故由题设得。
从而。因此时等号成立，又当，从而当。
故当函数上单调性一致，因此的最大值为。
20．本小题考查数列的通项与前项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析**及逻辑推理的能力，满分16分。
解：（1）由题设知，当，即，从而。
所以的值为8。
（2）由题设知，当，两式相减得。
所以当成等差数列，且也成等差数列。
从而当时， （
且，即成等差数列，从而，故由（*）式知。
当时，设。当，从而由（*）式知。
故。从而，于是。
因此，对任意都成立，又由可知，解得。
因此，数列为等差数列，由。
所以数列的通项公式为。
数学ii（附加题）
21．【选做题】本题包括a、b、c、d四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
a． 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与，圆的弦交圆于点（不在上），求证：为定值。
b． 选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵，向量，求向量，使得．
c．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。
d．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
解不等式：
必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22．（本小题满分10分）
如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为。
1）当时，求的长；
2）当时，求的长。
23．（本小题满分10分）
设整数，是平面直角坐标系中的点，其中。
（1）记为满足的点的个数，求；
2）记为满足是整数的点的个数，求。
附加题参***。
21．【选做题】
a．选修4-1：几何证明选讲。
本小题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力，满分10分。
证明：连结ao1，并延长分别交两圆于点ｅ和点ｄ连结bd、ce，因为圆o1与圆o2内切于点a，所以点o2在ad上，故ad，ae分别为圆o1，圆o2的直径。
从而，所以bd//ce，于是。
所以ab：ac为定值。
b．选修4-2：矩阵与变换。
本小题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力。满分10分。
解： 设，从而。
解得。c．选修4-4：坐标系与参数方程。
本小题主要考查椭圆与直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力，满分10分。
解：由题设知，椭圆的长半轴长，短半轴长，从而，所以右焦点为（4，0），将已知直线的参数方程化为普通方程：
故所求直线的斜率为，因此其方程为。
d．选修4-5：不等式选讲。
本小题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力，满分10分。
解：原不等式可化为。
解得。所以原不等式的解集是。
22．【必做题】本小题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力，满分10分。
解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，则各点的坐标为，所以。
设平面dmn的法向量为。
即，则是平面dmn的一个法向量。从而。
（1）因为，所以，解得。
所以。（2）因为。
所以。因为，解得。
根据图形和（1）的结论可知，从而cm的长为。
23．【必做题】本小题主要考查计数原理，考查**能力，满分10分。
解：（1）点p的坐标满足条件：
（2）设为正整数，记为满足题设条件以及的点p的个数，只要讨论的情形，由知。设。所以。
将代入上式，化简得。所以。
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