数列专题。
例2. 给定实数，数列定义为：,n=2,3,4,….
1)证明：是单调数列；
2)试确定数列中是否有最大值，或最小值？若有，请求出；否则，请说明理由；
3)对任意，证明：集合中有k个数构成等比数列。
解（1）证明：当，数列是单调递减。
当时，∵,数列是单调递增。
综上：单调数列。
(2)( 当时，是单调递减。，∴最大，其值为，但无最小值，假设有最小值，是中的项，∴，当n充分大，与a为定值矛盾。
(ⅱ)当时，是单调递增，∴最小，其值为，但无最大值，假设有最大值，∵，当n充分大时，，这与是给定数矛盾。
综上：当时，有最大项，值为，但无最小项；
当时，有最小项，值为，但无最大项。
3)证明：取出k个数：
成等差数列，公差为d,，.
成等比数列。
例3.（1）设是一个公差d不为零的无穷等差数列。若中有两项之和仍是该数列中的项。证明：存在整数m,使。
2)确定并证明（1）中命题的逆命题是否成立？
（3）若数列满足（1）中的条件，则对任意的正整数，可从该数列中取出k个项，构成等比数列。
解：(1)数列中有不同两项，其和仍是数列中第k项，∴
.∴,但k可以为p或q,也可以从1开始取值。
是整数，记为m,∴.
2)(1)的逆命题是：若，则数列中必存在两项之和仍在该数列中。这是真命题。, 数列为：
与的和必是数列中的第项。
由于数列满足⑵,∴数列可以写成：
若，则取，必组成公比为m的等比数列。
若时，必存在一个整数t使，取，必组成等比数列。
例4. 我们在下面的**内填写数值，先将第1行的所有空格填上1，再把一个首项为1，公比为q的数列依次填入第一列的空格内，然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格。
(1)设第2行的数依次为b1,b2,b3,…,bn，试用n、q表示b1+b2+…+bn的值；
(2)设第3列的数依次为c1,c2,c3,…,cn，求证：对于任意非零实数q，c1+c3>2c2；
(3)能否找到q的值，使得填完**后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？请说明理由。
解：(1)b1=q，b2=1+q，b3=1+(1+q)=2+q，bn=(n-1)+q
b1+b2+…+bn=1+2+…+n-1)+nq=。
2)c1=1，c2=1+(1+q)=2+q，c3=(2+q)+(1+q+q2)=3+2q+q2
由c1+c3-2c2=1+3+2q+q2-2(2+q)=q2>0得c1+c3>2c2。(3)设x1,x2,x3和y1,y2,y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项。
1≤k若第k+1列的前三项x1,x2,x3是等比数列，则x1x3=x22
即，∴ 同理，若第m+1列的前三项y1,y2,y3是等比数列，则。
当k≠m时，
∴无论怎样的q，都不能同时找出除1列外的其他两列，使它们的前三项都成等比数列。
例5.前n项和为，首项为x(r).
满足n.1)求证：数列是等差数列；
2)求证：x为有理数的充要条件是数列中存在三项构成等比数列。
解：(1)∵
- ①得，∴
数列是等差数列，首项为x,公差为1.(2)证明充分性：若三个不同的项成等比数列，且。
则，即。若，则，于是得与矛盾 .
故，且都是非负整数，故x是有理数。必要性：若x 为有理数，且，则必存在正整数k,使。令。
则正项数列是原数列的一个子数列，只要正项数列中存在3个不同的项组成等比数列，那么原数列中必有3个不同的项组成等比数列，因此不失一般性，不妨设。设（n,且互质）.又设 n，且成等比数列，则，解得，为使为整数令，则可知成等比数列。
事实上，.
所以，即三项成等比数列。
综上所述，实数x为有理数的充要条件是数列中有3个不同的项，它们组成等比数列。
例6. (1)试给出一个函数满足
对所有成立； (
2)举例说明，存在满足(*)但方程没有实数解；
3)设满足(*)若方程有一个实数解，则该方程又无穷多个实数解。
(1)解，满足（）.
2）解。满足（），但方程化为与已知矛盾，方程无实数解。
3)证：设方程的一个实数解为，∴.
又。∴是方程的实数解。
又，也是方程的一个实数解。
若是方程的一个解，则。
也是方程的解，这样递推下去，方程必有无穷多个实数解。
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