例题1[2011浙江理]
设函数。ⅰ）若＝为的极值点，求实数；
ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意的∈（0,3]，恒有≤4成立。（为自然对数的底数）
解法1：（评卷参***解法）
ⅰ)求导得。
因为是的极值点，所以，解得，经经检验，符合题意，所以。
当时，对于任意的实数，恒有成立。
当时，由题意，首先有。
解得。由（ⅰ）知，则，且。
又在（0，+∞内单调递增，所以函数在（0，+∞内有唯一零点，记此零点为，则，。
从而，当时，；当时，；当时，，即在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。所以要使对恒成立，只要。成立。知。
将（3）代入（1）得，又，注意到函数在[1,+∞内单调递增，故。
再由（3）以及函数2xlnx+x在（1.+ 内单调递增，可得。
由（2）解得，。
所以。综上，a的取值范围为。
解法2：（临汾研讨会解法）
ⅰ）略。ⅱ）①当时，，与题不符。
当时，，与题不符。
当时，由（ⅰ）知，设易知在上单调增，且，根据零点定理方程在区间内有且仅有一个根。
这样方程有两个根，，根据的符号情况，容易知函数在，上单调增；在上单调减。
所以函数在上的最大值而。
由得 所以。
综合以及（）（得。
综上知的取值范围为。
解法3：（分离参数）
1）同解法1
2）当∈（0,1] 时，易知，恒有≤4成立，当∈（1,3]时，
易知函数在（1,3]单调递增。
记， 时，，为减函数；
时，，为增函数；
综上，当时，对任意的∈（0,3]，恒有≤4成立。
即的取值范围为。
例题2[2011新课标]
已知函数，曲线在点处的切线方程为。
1) 求的值；
2) 如果当时，，求的取值范围。
例题3[2010宁夏]
设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.
1)若a＝0，求f(x)的单调区间；
2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
解：(1) f(x)在(－∞0)单调减少，在(0，＋∞单调增加．(2) (
例题4[2010辽宁]
已知函数。）讨论函数的单调性；
）设。如果对任意，，求的取值范围。
例题5[2008全国理1]
已知函数，．
ⅰ）讨论函数的单调区间；
ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
例题6[2007全国1]
设函数 ⅰ）证明：的导数；
ⅱ）若对所有都有，求的取值范围
解：ⅰ）的导数
由于，故 当且仅当时，等号成立）
ⅱ）令，则。
ⅰ）若，当时，故在上为增函数，所以，时，，即
ⅱ）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数
所以，时，，即，与题设相矛盾
综上，满足条件的的取值范围是
例题7[2006全国2]
设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围
解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－15分。
i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax ……9分。
ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立
综上，a的取值范围是（－∞1] …12分。
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立 ……3分。
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－16分。
当x＞ ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数， …9分。
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0
由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞1] …12分。
例题8[2011北京理数18]
已知函数。ⅰ）求的单调区间；
（ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围。
解：（ⅰ令，得。
当k>0时，的情况如下。
所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k<0时，的情况如下。
所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是。
ⅱ）当k>0时，因为，所以不会有。
当k<0时，由（ⅰ）知在（0，+）上的最大值是。
所以等价于。
解得。故当时，k的取值范围是。
例题9[2004全国理1]
已知求函数的单调区间。
解：函数f(x)的导数：
i）当a=0时，若x<0，则<0，若x>0,则》0.
所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞0）内为减函数，在区间（0，+∞内为增函数。
ii）当。由。
所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞内为增函数，在区间（－，0）内为减函数，在区间（0，+∞内为增函数；
iii）当a<0时，由2x+ax2>0，解得0由2x+ax2<0，解得x<0或x>－.
所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－，内为减函数。
例题10[2011辽宁]
已知函数．（i）讨论的单调性；
（ii）设，证明：当时，；
（iii）若函数的图像与x轴交于a，b两点，线段ab中点的横坐标为x0，证明：（x0）＜0．
i）（i）若单调增加。
（ii）若。
且当。所以单调增加，在单调减少。 …4分。
（ii）设函数则。
当。故当8分。
（iii）由（i）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为。
不妨设。由（ii）得。
从而。由（i）知12分。
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