高等代数（ii）练习3参***。
一、 1. b; 2. a; 3. b； 4. b; 5. c二、 1. ；
5. 在基，，下的坐标。
三、 解： 对于任意
所以4分）
当且仅当7分）
此方程的一组基础解系为
所以，的一组基为10分）
四、证明： 任取。
a a2分)
令a， a 则。
a a a 2 = a a=
因此且a， a –1 ，即。
a a –15分)
任取aa –1 ，即存在，使。
a ， aa = a 2 a（a）a
因此aa –19分)
故=a a –110分)
五、解：的矩阵及标准形的矩阵分别为。
由题设条件，存在正交矩阵，使。
已知的特征值为，由于3分）
得。再由为的特征值，有。
得。此时6分）
当解方程组得基础解系。
将其标准正交化。
同理对应的特征向量，单位化为 （10分）
所以，所求的正交变换为。
12分）八、证明：
1)首先验证a是线性变换：
aa a2分）
然后验证a是正交变换：
a a5分）
2)设是的一组标准正交基，将扩充为的一组标准正交基，则a在基下的矩阵。
正交矩阵。 (9分)
由此得，若则a与是维数为相矛盾。所以，即a12分)任取中向量，可得。
a15分)因此a是镜面反射。
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