科目名称：《高等代数》
姓名： 班级： 考试时间：120分钟考试形式：闭卷。
一、填空题（每小题5分，共25分）
1、在中，向量关于基的坐标为。
2、向量在基，，下的坐标为。
3、（维数公式）如果是线性空间的两个子空间，那么。
4、假设的特征根是特征向量分别为。
5、实二次型的秩为。
二、是非题（每小题2分，共20分）
1、在中，定义变换，那么变换是线性变换。（
2、如果线性无关，而不能由线性表示，那么线性无关。（
3、设是向量空间的两个子空间，那么它们的交也是的一个子空间。（
4、数域上两个向量空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（
5、齐次线性方程组的解向量是的属于的特征向量。（
6、令是的任意向量，那么是到自身的线性变换。其中，是的一个固定向量。（
7、阵的特征向量的线性组合仍是的特征向量。（
8、若矩阵与相似，那么与等价。（
9、在中，若由所有满足的矩阵组成，那么是的。
子空间。（
10、矩阵的特征根就是的特征多项式的根。（
三、证明题（每小题××分，共31分）
1、 设与是中两个向量组，试证：假如这两个向量组都是线性无关，那么空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数。(10)
2、 设是一个正交矩阵，证明：（1）的行列式等于1或-1。（2）如果是的一个特征根，那么也是的一个特征根。(9)
3、 设为一个级实对称矩阵，且，证明：必存在实维向量，使。(12)
四、计算题（每小题8分，共24分）
1、在中，，证明：是的基，并求向量关于这个基的坐标。
2、求一个正交矩阵，使得使对角形式，其中。
3、化二次型为平方和，并求所用的满秩线性变换。
科目名称：《高等代数》
姓名： 班级： 考试时间：120分钟考试形式：闭卷。
一、填空题（每小题5分，共25分）
3、维（）+维（）=维（）+维（）
4、特征根是1,2,3，特征向量分别为。
5、秩为 2
二、是非题（每小题2分，共20分）
1、（是 ）
2、（是 ）
3、（是 ）
4、（否 ）
5、（否 ）
6、（否 ）
7、（否 ）
8、（是 ）
9、（否 ）
10、（是 ）
三、证明题（每小题××分，共31分）
1、解证：设， ，有，(2)
所以，维（）=4)
以，作列构成矩阵，那么为线性方程组的系数矩阵，因此， =秩（）,8)，有维数公式=s+t-秩（）.10)
2、证：（1），(2)
所以，既，(3)
所以，的行列式等于1或-1。(4)
2），所以，故是的特征根，(6)
则为特征根，而与的特征根相同，(8)
所以也是的一个特征根。(9)
3、 证明：因为是级实对称矩阵，且，故二次型的秩为，且不是正定的，(3)
故负惯性指数至少是1，从而可经过非退化线性替换，化成。
其中，当，其余时，上式右端小于零，(9)
但由所确定的解向量，使(*)式左右两端相等，(11)
即有实维向量，使。(12)
四、计算题（每小题8分，共24分）
1、在中，，证明：是的基，并求向量关于这个基的坐标。
解：取，使，*,1)
只有，才使*式成立，所以线性无关，在中为它的一个基。(3)
向量关于这个基的坐标，有，(7)
解的。(8)
2、求一个正交矩阵，使得使对角形式，其中。
解：，则特征根为，(3)
对应它们的线性无关的特征向量分别为，(5)
把正交化单位化，得。
把单位化，得。
取正交矩阵，(7)则。
3、化二次型为平方和，并求所用的满秩线性变换。解。
令即 (6)
原式= (8)
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