数列精选习题训练3
基础训练。一、选择题。
1．(2013·重庆模拟)设是等比数列，函数y＝x2－x－2013的两个零点是a2、a3，则a1a4＝( 21·世纪*教育网。
a．2013b．1
c．－1 d．－2013
2．已知数列的前n项和为sn，且sn＝n2＋n，数列满足bn＝(n∈n*)，tn是数列的前n项和，则t9等于( )21*cnjy*com
a. b.
c. d.
作品。3．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝＋f(x)(x∈r)，且f(1)＝，则数列(n∈n*)前20项的和为( )
a．305 b．315
c．325 d．335
4．等差数列中，a1>0，公差d<0，sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( )
5．(文)已知函数f(x)＝log2x，等比数列的首项a1>0，公比q＝2，若f(a2·a4·a6·a8·a10)＝25，则2f(a1)＋f(a2)＋…f(a2012)等于( )
a．21004×2009 b．21005×2009
c．21005×2011 d．21006×2011
6.(2013·成都市二诊)已知数列满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈n*，且a5＝.若函数f(x)＝sin2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则数列的前9项和为( )
a．0 b．－9
c．9 d．1
7．(文)(2014·辽宁协作联校三模)已知数列的通项公式an＝2014sin，则a1＋a2＋…＋a2014＝(
a．2012 b．2013
c．2014 d．2015
8.已知an＝，数列的前n项和为sn，关于an及sn的叙述正确的是( )
a．an与sn都有最大值。
b．an与sn都没有最大值。
c．an与sn都有最小值。
d．an与sn都没有最小值。
二、填空题。
9．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为___m)．
10．(2014·广东理，13)若等比数列的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20
三、解答题。
11．(2013·天津理，19)已知首项为的等比数列不是递减数列，其前n项和为sn(n∈n*)，且s3＋a3，s5＋a5，s4＋a4成等差数列．求数列的通项公式；
12．(文)(2014·唐山市二模)在公差不为0的等差数列中，a3＋a10＝15，且a2，a5，a11成等比数列．
1)求的通项公式；
2)设bn＝＋＋试比较bn＋1与bn的大小，并说明理由．
13.(2013·呼和浩特市二调)等比数列的前n项和为sn.已知s1，s3，s2成等差数列．
1)求的公比q；
2)若a1－a3＝－，求数列的前n项和tn.
一、选择题。
14．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…f(2n)等于( )
a．n(2n＋3) b．n(n＋4)
c．2n(2n＋3) d．2n(n＋4)
15.已知数列是等比数列，且每一项都是正数，若a1、a49是2x2－7x＋6＝0的两个根，则a1·a2·a25·a48·a49的值为( )a. b．9
c．±9 d．35
16．(2014·哈三中二模)在等差数列中，a1＋a2＋a3＝－18，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项的和等于( )
a．160 b．180
c．200 d．220
17．(2013·福建理，6)阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是( )
a．计算数列的前10项和。
b．计算数列的前9项和
c．计算数列的前10项和。
d．计算数列的前9项和。
二、填空题。
18.设等比数列的前n项和为sn，若a1＝1，s6＝4s3，则a3
19．已知向量a＝(2，－n)，b＝(sn，n＋1)，n∈n*，其中sn是数列的前n项和，若a⊥b，则数列{}的最大项的值为___
三、解答题。
20．(2014·沈阳市质检)在△abc中，角a、b、c的对应边分别是a、b、c，满足b2＋c2＝bc＋a2.
1)求角a的大小；
2)已知等差数列的公差不为零，若a1cosa＝1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和sn.
21．(文)定义：若数列满足an＋1＝a，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，其中n为正整数．
1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为tn，即tn＝(2a1＋1)(2a2＋1)…(2an＋1)，求tn关于n的表达式；
参***。1、[答案] d
解析] 由条件得，a1a4＝a2a3＝－2013.
2、[答案] d
解析] ∵数列的前n项和为sn，且sn＝n2＋n，∴n＝1时，a1＝2；n≥2时，an＝sn－sn－1＝2n，∴an＝2n(n∈n*)，bn＝＝＝t9＝[(11－)＝21教育名师原创。
3、[答案] d
解析] ∵f(1)＝，f(2)＝＋f(3)＝＋f(n)＝＋f(n－1)，是以为首项，为公差的等差数列．
s20＝20×＋×335.
4、[答案] c
解析] ∵sn＝na1＋d，∴sn＝n2＋(a1－)n，又a1>0，公差d<0，所以点(n，sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧．
点评] 可取特殊数列验证排除，如an＝3－n.
5、[答案] d
解析] f(a2·a4·a6·a8·a10)
log2(a2·a4·a6·a8·a10)＝log2(aq25)＝25，即a·q25＝225，又a1>0，q＝2，故得到a1＝1.
2f(a1)＋f(a2)＋…f(a2012)＝2f(a1)·2f(a2)·…2f(a2012)
2log2a1·2log2a2·…·2log2a2012
a1·a2·…·a2012＝a·q1＋2＋…＋2011
12012×2＝21006×2011.故选d.
6【答案】 c
解析] 据已知得2an＋1＝an＋an＋2，即数列为等差数列，又f(x)＝sin2x＋2×＝sin2x＋1＋cosx，因为a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，故cosa1＋cosa9＝cosa2＋cosa8＝…＝cosa5＝0，又2a1＋2a9＝2a2＋2a8＝…＝4a5＝2π，故sin2a1＋sin2a9＝sin2a2＋sin2a8＝…＝sin2a5＝0，故数列的前9项之和为9，故选c.
7、[答案] c
解析] 数列的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝2014(sin＋sinπ＋sin＋sin2π)＝0，又∵2014＝4×503＋2，a1＋a2＋…＋a2014＝a1＋a2＝2014sin＋2014sinπ＝2014.
8、[答案] c
解析] 画出an＝的图象，点(n，an)为函数y＝图象上的一群孤立点，(，0)为对称中心，s5最小，a5最小，a6最大。
9、[答案] 2000
解析] 设放在第x个坑边，则。
s＝20(|x－1|＋|x－2|＋…20－x|)
由式子的对称性讨论，当x＝10或11时，s＝2000.
当x＝9或12时，s＝20×102＝2040，…，当x＝1或19时，s＝3800.
smin＝2000(m)．
10、[答案] 50
解析] ∵a10a11＋a9a12＝2e5，∴a1·a20＝e5.
又∵lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)
ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]
ln(e5)10＝lne50＝50.
注意等比数列性质：若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq，对数的性质logamn＝nlogam.
11、[解析] (1)设等比数列的公比为q，因为s3＋a3，s5＋a5，s4＋a4成等差数列，所以s5＋a5－s3－a3＝s4＋a4－s5－a5，即4a5＝a3，21*cnjy*com
于是q2＝＝.
又不是递减数列且a1＝，所以q＝－.
故等比数列的通项公式为an＝×(n－1＝(－1)n－1·.
12、[解析] (1)设等差数列的公差为d.由已知得。
注意到d≠0，解得a1＝2，d＝1.
所以an＝n＋1.(n∈n＋)．
2)由(1)可知。
bn＝＋＋bn＋1＝＋＋因为bn＋1－bn＝＋－0，所以bn＋1>bn.
13、[解析] (1)由已知得2s3＝s1＋s2，2(a1＋a2＋a3)＝a1＋(a1＋a2)，a2＋2a3＝0，an≠0，1＋2q＝0，∴q＝－.
2)∵a1－a3＝a1(1－q2)＝a1(1－)＝a1＝－，a1＝－2，∴an＝(－2)·(n－1＝(－n－2，nan＝n(－)n－2.
tn＝1·(－1＋2·(－0＋3·(－1＋…＋n·(－n－2，①
－tn＝1·(－0＋2·(－1＋3·(－2＋…＋n·(－n－1，②
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