高等代数（一二）a卷答案及评分标准。
一、 填空题（共21分，每空3分）
二、计算题（共30分）
1．（8分）作非退化线性替换把二次型化成标准形。
解：配方得。
4分）令，则（5分）。
所作的线性替换是：，由于其系数矩阵的行列式，因此这个线性替换是非退化的。（8分）
2．（10分）设，，用辗转相除法计算，并求多项式和使得
解：辗转相除得：，；
4分）故。(5分)
把上述辗转相除过程写出来就是。
从而，。（10分）
3．（12分）设是数域上四维线性空间的一个基，已知线性变换a在这个基下的矩阵为，1） 计算a；
解：在基下的坐标为，故a在基下的坐标为，所以a（4分）。
2） 求a的核空间与像空间。
解：（8分）
的基础解系为，从而a的核为。（10分）
的列空间由前三个列向量生成，从而a的像空间为。
（12分）三、综合题一（共18分，每小题6分）
令是由域上所有2阶方阵构成的线性空间。
1） 证明是的一个基。
证明：考虑同构，把中的向量映到该向量在基下的坐标。
故，（2分）
由于矩阵，（4分）上述四个个坐标向量线性无关，从而线性无关，而=4，即它们是的一个基。（6分）
2） 求从基到基的过渡矩阵。
解：从基到基的过渡矩阵为。
（2分）从基到基的过渡矩阵为。（4分）解得：
（6分）3）求在基下的坐标。
解：在基下的坐标为，从基到基的过渡矩阵为。
（2分）则在基下的坐标。
（6分）四、综合题二（共18分，第一小题10分，第二小题8分）
设是域上的维线性空间，它的线性变换a在基下的矩阵为，1）求的一个基，使得a在这个基下的矩阵是对角矩阵。
解：a的特征多项式，故a的特征值分别为。（2分）
对于特征值1，解齐次线性方程组，得到一个基础解系，令。
即为a的一个属于特征值1的特征向量。（4分）
对于特征值2，解齐次线性方程组，得到一个基础解系，令。
即为a的一个属于特征值的特征向量。（6分）
对于特征值-2，解齐次线性方程组，得到一个基础解系，令。
即为a的一个属于特征值2的特征向量。（8分）
则a在基下的矩阵为。（10分）
1） 计算an在基下的矩阵。
解：an 在基下的矩阵为。由上题的计算可知，其中。
3分），则，从而 。（5分）
又， 。8分）
五、证明题（共8 分）
1．（6分）设a是域上的维线性空间上的线性变换，a 的零化多项式为。证明：a与 a+i均可逆并求它们的逆。
由可逆的定义可知与可逆且它们的逆分别为和。（6分）
2．（7分）设是阶矩阵，且有，证明：的特征值是1或-1．
证明：由于（2分），我们有。
从而。由于，即（5分），所以的零化多项式为，的最小多项式为的因式，从而的特征值是1或-1。(7分)
A卷答案及评分标准
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