一、填空题。
1．若的特征值互不相同，则必有n个线性无关的特征向量，即可对角化。但反过来不成立，可对角化，不能说的特征值互不相同。允许的特征值为特征方程的重根，只要特征值对应的线性无关特征向量的个数等于特征根的重数就可以了。
4．【题中的应为】因为为属于的特征向量，为属于的特征向量，则。
二、计算题。
1．取，。则，因此。
2．。则的特征值为，对，由得基础解系为、。对，由得基础解系为。令，则。，则。
3．由知在复数域内有3个相异的特征值，则在复数域内可对角化。在实数域内只有一个一个特征值(单根)，则不可对角化。
4*．可对角化使，其中为对角矩阵；可对角化使，其中为对角矩阵。令，则，其中可逆，即与对角矩阵相似，即可对角化。
一、填空题。
1．实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交。。
2．为实对称矩阵，则它一定可以对角化。若为的k重特征值，则属于的线性无关的特征向量必有k个，即齐次方程组的基础解系中有k个解向量。则，因此。
3．设的属于的特征向量为，由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，则有，即，得对应的特征向量，其中。
4．可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量。
一、计算题。
1．(1)由得的特征值为、。对，对应的齐次方程组为，基础解系为、，正交化得、，单位化得、。对，对应的齐次方程组为，基础解系为，单位化得。取、，则为正交矩阵且。
2．由得的特征值为、。对，对应的齐次方程组为，基础解系为、，正交化得、，单位化得、。对，对应的齐次方程组为，基础解系为，单位化得。取、，则为正交矩阵且。(2)，则。
3．由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，则，即，得。为实对称矩阵，则它一定可以对角化。由为的2重特征值，则属于的线性无关的特征向量必有2个。
假设属于的另一个特征向量为，由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，则，即，得到与线性无关的特征向量。正交单位化得，，，取，则。
三*、证明题。
1．设的特征值为，为的属于的特征向量，则，。又，则，即，。又，得到，因此或0。因为实对称矩阵，则它可对角化，即正交矩阵q使。又，即1的个数为r(a)。
2．记，由得的特征值。对应的齐次方程组为，基础解系为。由于只有一个线性无关的特征向量，因此它不可对角化。而只有一个二重特征值，因此与jordan标准型相似。
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