三、相似变换阵的计算。
例求矩阵=的jordan标准形及所用的相似变换阵。
解已求得的jordan标准形为 。
设，即按列分块，则由， 即得。
即。或 ，，
由上式可见分别是特征值1和3对应的特征向量，而可利用已求出的作为右端项，求解非齐次方程组得到，而又可由方程组得到。
取，求解，由于。
同解方程组为， 令得；
再求解，由于。
同解方程组为 ， 令得；
取为对应特征值3的特征向量；
故相似变换阵使得。
注称，是特征值1的广义特征向量。它们不是唯一的。
例求矩阵的jordan标准形和所用的相似变换阵。
解 的特征值为。求解，由于，同解方程组为，基础解系 。若设，使得，则有。
可见应取对应特征值的两个线性无关的特征向量。但若取 ，为求解，求解方程组，即。
这是矛盾方程组。
遇到这种情况处理方法如下：
取定，又令。
只要，则也是对应的特征向量，选择其中的系数，，使满足两点：
1）与线性无关； （2）使方程组有解。
先求解后者，由于。
可见，当=时，方程组有解。取==1，则。
它与线性无关，又同解方程组为，令 =0 得。
故相似变换阵，使。
注当一个重特征值对应2个及2个以上的jordan块时，经常要作这样的处理，应加以注意。
四、 应用举例。
1．证明一些结论。
例设的个特征值为，证明。
证根据jordan标准形理论，存在阶可逆阵使，其中*代表0或1，取行列式即得。
2．求方阵的幂。
已知，要求出，首先求相似变换阵，使，其中为jordan块=
则。可见求出的关键是求出。
引理 ==其中，且当时，规定。
证法1 用数学归纳法。
法2 ，其中
易知。注意与的乘积可交换，于是。
右端写成矩阵形式即为所求。证毕。
例已知，求。
解已求得，其中 ，故 ==
3．求解一阶常系数线性微分方程组。
例求解微分方程组。
解首先化为矩阵形式，其中，可求得 =，其中。
令，其中，代入方程得，即，写成分量形式为。
由第1，3个方程解得，，代入第2个方程得 ，这是一阶线性微分方程，其解为 ，故。
==，任意。
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