NIT的3作业要求

文章**选自《高等数学》。

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首先要明白微分方程中的阶的意义：一个微分方程中含有的导数或微分的最高阶数，就叫做这个微分方程的阶。如y"+xy=ysinx就是二阶微分方程了。

一阶微分方程就是指只有一阶导数或微分的微分方程。

数学中的线性运算是指加减或乘以常数的运算。而在微分方程中，自变量对未知函数y而言相当于常数，微分方程中的线性是指未知函数y和它的各阶导数或微分只有加减或只是乘以自变量或自变量的函数。而未知函数y和它的各阶导数或微分之间没有相乘或其他形式的运算或函数形式。

最终都可以化为形如dy/dx ＋p(x)y=q(x)的微分方程就叫做一阶线性微分方程，其中p(x)，q(x)可以是自变量的任意函数。

q(x)恒为零，则式子为一阶线性齐次方程，否则为一阶线性非齐次方程。因此齐次方程与非齐次方程是一阶线性微分方程的两大分类，一个一阶线性微分方程不是齐次方程就是非齐次方程。

至于伯努利方程，实际上是一种非线性的一阶微分方程，但是经过适当的变量变换之后，它可以化成一阶线性方程。要转化之后才是一阶线性方程，因此你提问中的说法也是不对的，不是“一阶线性微分方程中，除了……和伯努利方程之外”，因为伯努利方程不在一阶线性方程中。

如果一阶微分方程中的函数f(x,y)可写成，即。

则称该方程为齐次方程。

例如：是齐次方程，因为。

例2 求微分的方程的通解。

解这是一个一阶线性非齐次微分方程，将方程两边同除以x得。

利用公式，，得

当x>0时。

当x<0时。

所以原方程的通解为。