高三必过关题3 函数（3）
一、填空题。
例1 一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时间时的瞬时速度为米/秒．
答：5提示：时间时的瞬时速度即为。
例2 已知函数，则。
答：0提示：，令求出。
例3 （泰州市13年第一学期期末）曲线在点(e,2)处的切线与y轴交点的坐标为。
答：(0,0)
提示：函数的导数为，所以在的切线斜率为，所以切线方程为，即．
例4 (2023年兴化)已知函数，（）若图象在处的切线方程为，则函数的最小值是
答：0提示：∵图像在处的切线方程为，，∴求出。
例5 (2012北京高考)已知函数。若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，则。
答：=3 =3
提示：由为公共切点可得：，则，则，，又，即，代入①式可得：．
例6 （2012南通一模）设p是函数图象上异于原点的动点，且该图象在点p处的切线的倾斜角为，则的取值范围是
答：提示：，所以。
例7 （南通13年高三第三次调研）过点作曲线：的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，…，依次下去，得到第个切点．则点的坐标为 ．
答： 提示：设，切线方程为，代入：；
切线方程为，代入：,依次，，本题考查点不在曲线上求切线方程时，可设切点。
例8 （2012苏州高三期末）函数的单调减区间为。
答： 提示：，注意定义域中的。
例9 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 。
答：．提示：恒成立，即。
例10 函数存在极值的充要条件是
答： 提示：对于三次函数存在极值的条件是导函数存在两个零点，有极值必有两个。
例11 函数(为常数)在（为自然对数的底数)上有最小值1，则此函数在上的最大值是。
答：．提示 ∵，在单调递减，单调递增，∴当时，最小，∴，从而与比较大小．
例12 （扬州13年第一学期期末）已知函数在区间（为自然对数的底数)上取得最小值4,则___
答： 提示：当时，在单调递增，（舍去）；当时，在单调递减，；当时，在单调递减，单调递增，（舍去）
例13 （13年苏锡常镇四市高调研（二））分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为___
答： 提示：曲线上斜率的切线与直线两平行线间的距离，即为的最小值。本题考查几何位置在导数中的应用。
例14 （2012盐城二检）设是定义在上的可导函数，且满足。则不等式的解集为。
答：；提示：令，则，∴为增函数，不等式可化为，即，由，本题考查如何构造函数。
例15 等比数列中，函数（为常数），则曲线在点处的切线方程为 .
答： 提示：的展开式从最高次项为降到最低次项为和常数项，.
例16 （苏州11年高三调研）在平面直角坐标系中，点是第一象限内曲线上的一个动点，点处的切线与两个坐标轴交于两点，则的面积的最小值为 .
答： 提示：设切点为，则切线的斜率，切线方程为，，所以。
例17 (13年南京二模)关于的不等式对任意恒成立，则实数的值为___
答： 提示：恒成立，；不等式恒成立；恒成立，，综上，.本题考查学生对不等式性质在恒成立中的应用。
例18 （南通13年基地正卷）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2 ：1，该长方体的最大体积是___
答：3 提示：设长为，宽为，高为（），体积，利用导数求解可得。
例19 已知为实数，，函数，若。
则函数在上的取值范围为。
答： 提示：由题意知解得。则函数在上单调递增，在单调递减，所以函数，，由，所以函数的值域为．
例20 （2012南通期末）函数的值域是。
答：．提示：易想到但不适宜的解法：
由f ′(x)=0，得x=－1－，1－，－1+，1+，所以f(x)在x=－1－与－1+处取得极小值，在1－与1+处取得极大值，f(－1－)=f(1+)=故所求值域是［－，此解法运算量大，很费时）
其图像大致如下。
另解：f(x)=，当x=0时，f(x)=0，当x≠0，f(x)= 令，代入，得g(t)= f(x)=∈
或解令x=tanα，则=－sin4α∈［此解法需学生熟练万能公式）
本题考查综合应用函数知识的能力，利用导数求函数的最值问题的方法与步骤．
二、解答题。
例21 (镇江13年高三一模）已知，函数r)图象上相异两点处的切线分别为，且∥.
1）判断函数的奇偶性；并判断是否关于原点对称；
2）若直线都与垂直，求实数的取值范围。
答：（1），为奇函数。
设且，又， 在两个相异点处的切线分别为，且∥， 又， ，又为奇函数，点关于原点对称．
2）由（1）知， ，又在a处的切线的斜率，直线都与垂直，
令，即方程有非负实根， ，又， ．综上．本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布；考查换元法考查推理论证能力。
例22 (南京13年第二学期高二)定义域为的奇函数f(x)，当时，．
1)求函数的解析式；
2)若函数在上的最小值为3，求的值；
3)若存在，使得，求实数a的取值范围．
解：(1) f(x)定义域为r的奇函数 ∴f(0)＝0
当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－ln(－x)
∴f(x2) h(x)＝lnx＋∴h(x)＝－由h(x)＝0得x＝a
当a≤1时，f(x)在[1,e]上单调递增∴h(x)min＝h(1)＝a∴a＝3，不符合a≤1，舍去。
当1＜a＜e时，f(x)在[1,a]上单调递减，在[a,e]上单调递增。
h(x)min＝h(a)＝lna+1=3 ∴a＝，不符合1＜a＜e，舍去。
当a≥e时，f(x)在[1,e]上单调递减∴h(x)min＝h(e)＝1＋∴1＋＝3，即a＝2e
综上所述：当a＝2e时，h(x)＝f(x)＋在[1,e]上的最小值为3
3)由题意：f(x)＞x2＋在[1,＋∞上有解，即a＜xlnx－x3在[1,＋∞上有解。
设g(x)＝xlnx－x3. (x∈[1,＋∞g(x)＝lnx＋1－3x2
设φ(x)＝lnx＋1－3x2 (x∈[1,＋∞则φ(x)＝－6x， 当x∈[1,＋∞时φ(x)＜0恒成立。
φ(x)在[1,＋∞上单调递减∴φ(x)≤φ1)＝－2∴φ(x)在[1,＋∞上单调递减。
g(x)在[1,＋∞上单调递减∴g(x)max＝g(1)＝－1∴实数m的取值范围为(－∞1
例23 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点m、n，交曲线于点p，设。
1）将（o为坐标原点）的面积表示成的函数；
2）若在处，取得最小值，求此时的值及的最小值。
答：（1），切线的斜率为，切线的方程为。
令得 ,令，得。的面积
由，得。当时，
当时， 已知在处， ,故有。
故当时， 例24 （武进湟里13年模拟）已知函数，其中是自然数的底数，．
1）当时，解不等式；
2）当时，求整数的所有值，使方程在上有解；
答：（1）因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为．
2）当时， 方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，所以在和内是单调增函数，又，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数的所有值为．
例25 已知函数且在上的最大值为，1）求函数f(x)的解析式；
2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。
答：(1), 当时，不合题意，舍去；
当时，，单调递减，不合题意；
当时，，单调递增，综上，.
2）在上有两个零点。证明如下：
由（1）知，，，在上至少有一个零点。又由（1）知在单调递增，故在上只有一个零点；当时，令， ，在上连续，存在，使得。因为，所以在上递减，零点唯一。
当时，， 在上递增，当时，，所以，在上没有零点。
当时，，递减，且，即，在上递减，且，所以在上有唯一零点。综上，在上有两个零点。本题考查函数的最值、零点、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想．
例26 已知函数。
1）当时，求的极小值；
2）若直线对任意的都不是曲线的切线，求的取值范围；
3）设，求的最大值的解析式．
答：（1）当时，时，的极小值是。
2）法1：，直线即，依题意，切线斜率，即无解。
法2：，要使直线对任意的都不是曲线的切线，当且仅当时成立，
3）因故只要求在上的最大值。
当时， 当时，ⅰ）当
在上单调递增，此时
ⅱ）当时， 在单调递增；
1°当时，2°当。
ⅰ）当。ⅱ）当。综上
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