第3讲导数的应用(二) 最值及导数的综合应用。
基础巩固。1.当x≠0时，有不等式( )
1+xb.当x>0时，ex<1+x,当x<0时，ex>1+x
1+xd.当x<0时，ex<1+x,当x>0时，ex>1+x
答案】c解析】设y=ex-1-x,则y'=ex-1,于是当x>0时，函数y=ex-1-x是递增的；当x<0时，函数y=ex-1-x是递减的。故当x=0时，y有最小值y=0.因此应选c.
2.右图中三条曲线给出了三个函数的图象，一条表示汽车位移函数s(t),一条表示汽车速度函数v(t),一条是汽车加速度函数a(t),则( )
a.曲线a是s(t)的图象，b是v(t)的图象，c是a(t)的图象。
b.曲线b是s(t)的图象，a是v(t)的图象，c是a(t)的图象。
c.曲线a是s(t)的图象，c是v(t)的图象，b是a(t)的图象。
d.曲线c是s(t)的图象，b是v(t)的图象，a是a(t)的图象。
答案】d解析】由于v(t)=s'(t),a(t)=v'(t),注意到所给的三条曲线中，只有曲线a上有部分点的纵坐标小于零，因此只有曲线a才能作为加速度函数a(t)的图象，曲线b有升有降，因此其导函数图象有正有负，这与所给曲线a的形状吻合，因此b为速度函数v(t)的图象。
3.(2013届·江苏无锡月考)已知a≤+ln x,x∈恒成立，则a的最大值为( )
a.0 b.1 c.2 d.3
答案】a解析】设f(x)=+ln x,则f'(x)=+当x∈时，f'(x)<0,故函数f(x)在区间上单调递减，当x∈(1,2]时，f'(x)>0,故函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，因此f(x)min=f(1)=0.故a≤0,即a的最大值为0.
4.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10km时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每千米的费用总和最小时，此轮船航行速度为( )
a.20 km/h b.25 km/h
c.19 km/h d.18 km/h
答案】a解析】设轮船速度为x(x>0)时，燃料费用为q元，则q=kx3,由6=k×103可得k=,于是q=x3,总费用y=·=x2+,y'=x-,令y'=0得x=20,当x∈(0,20)时，y'<0,此时函数单调递减，当x∈(20,+∞时，y'>0,此时函数单调递增，因此当x=20时，y取得最小值。故此轮船以20km/h的速度行驶每千米的费用总和最小。
5.已知f(x)=x2-cos x,x∈[-1,1],则导函数f'(x)是( )
a.仅有最小值的奇函数。
b.既有最大值，又有最小值的偶函数。
c.仅有最大值的偶函数。
d.既有最大值，又有最小值的奇函数。
答案】d解析】f'(x)=x+sin x,显然f'(x)是奇函数，令h(x)=f'(x),则h(x)=x+sin x,求导得h'(x)=1+cos x.当x∈[-1,1]时，h'(x)>0,所以函数h(x)在区间[-1,1]上单调递增，有最大值和最小值。故f'(x)是既有最大值又有最小值的奇函数。
6.做一个圆柱形锅炉，容积为v,两个底面的材料每单位面积的**为a元，侧面的材料每单位面积的**为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )
a. b. c. d.
答案】c解析】如图，设圆柱的底面半径为r,高为h,则v=πr2h.
设造价为y=2πr2a+2πrhb=2πar2+2πrb·=2πar2+,则y'=4πar-.
令y'=0,得=.结合题意知，应选c.
7.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m,n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是( )
a.-13 b.-15 c.10 d.15
答案】a解析】求导得f'(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,从而可得a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知函数f(x)在区间(-1,0)上单调递减，在区间(0,1)上单调递增，因此当m∈[-1,1]时，f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下，且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时，f'(n)min=f'(-1)=-9.
故f(m)+f'(n)的最小值为-13.
8.函数f(x)=x2-ln x的最小值为 .
答案】解析】由得x>1.由得09.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的**p(元/t)之间的关系式为p=24200-x2,且生产x t的成本为r=50000+200x(元),则该厂每月生产 t产品才能使利润达到最大。
(利润=收入-成本)
答案】200
解析】每月生产x t时的利润为f(x)=x-(50000+200x)=-x3+24000x-50000(x≥0).
由f'(x)=-x2+24000=0得x1=200,x2=-200,舍去负值。故函数f(x)在[0,+∞内有唯一的极大值点，也是最大值点。
10.已知函数f(x)的自变量取值区间为a,若其值域也为a,则称区间a为f(x)的保值区间。若g(x)=x+m-ln x的保值区间是[2,+∞则m的值为 .
答案】ln2
解析】 g'(x)=1-=,当x≥2时，函数g(x)为增函数，因此函数g(x)的值域为[2+m-ln2,+∞于是2+m-ln2=2,故m=ln2.
11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若x=时，y=f(x)有极值。
1)求a,b,c的值；
2)求y=f(x)在区间[-3,1]上的最大值和最小值。
解】(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3,可得2a+b=0.①
当x=时，y=f(x)有极值，则f'=0,可得4a+3b+4=0.②
由①②解得a=2,b=-4.
由于切点的横坐标为x=1,则f(1)=4,因此1+a+b+c=4,即c=5.
故a=2,b=-4,c=5.
2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,于是f'(x)=3x2+4x-4,令f'(x)=0,得x1=-2,x2=.
当x变化时，y,y'的取值及变化如下表：
故y=f(x)在区间[-3,1]上的最大值为13,最小值为。
12.某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为r(x)=3700x+45x2-10x3(单位：万元),成本函数为c(x)=460x+5000(单位：
万元),又在经济学中，函数f(x)的边际函数mf(x)定义为mf(x)=f(x+1)-f(x).
1)求利润函数p(x)及边际利润函数mp(x);(提示：利润=产值-成本)
2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
解】(1)p(x)=r(x)-c(x)=-10x3+45x2+3240x-5000(x∈n*,且1≤x≤20);mp(x)=p(x+1)-p(x)=-30x2+60x+3275(x∈n*,且1≤x≤19).
2)p'(x)=-30x2+90x+3240=-30(x-12)·(x+9),∵x>0,∴p'(x)=0时，x=12,于是当00,当x>12时，p'(x)<0.故x=12时，p(x)有最大值，即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大。
13.已知函数f(x)=x2+ln x.
1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值；
2)求证：当x∈(1,+∞时，函数f(x)的图象在g(x)=x3+x2的下方。
解】(1)∵f(x)=x2+ln x,∴f'(x)=2x+.
x>1时，f'(x)>0,故f(x)在区间[1,e]上是增函数，∴f(x)的最小值是f(1)=1,最大值是f(e)=1+e2.
2)证明：令f(x)=f(x)-g(x)=x2-x3+ln x,则f'(x)=x-2x2+=
=,x>1,∴f'(x)<0.
从而可知f(x)在(1,+∞上是减函数，于是f(x)即f(x)故当x∈(1,+∞时，函数f(x)的图象总在g(x)=x3+x2的图象的下方。
拓展延伸。14.已知函数f(x)=ax+x2-xln a,a>1.
1)求证：函数f(x)在(0,+∞上单调递增；
2)若对x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立，求a的取值范围。
解】(1)证明：f'(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a,由于a>1,故当x∈(0,+∞时，ln a>0,ax-1>0,从而可知f'(x)>0,故函数f(x)在(0,+∞上单调递增。
2)由(1)可知，当x∈(-0)时，f'(x)<0,故函数f(x)在(-∞0)上单调递减。
因此，f(x)在区间[-1,0]上单调递减，在区间[0,1]上单调递增。
于是f(x)min=f(0)=1,f(x)max=max,f(-1)=+1+ln a,f(1)=a+1-ln a,f(1)-f(-1)=a--2ln a,记g(x)=x--2ln x,因为g'(x)=1+-=0,所以g(x)=x--2ln x递增。于是可知f(1)-f(-1)=a--2ln a>0,即f(1)>f(-1).因此f(x)max=f(1)=a+1-ln a.
故对x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|max=|f(1)-f(0)|=a-ln a,结合题意可知a-ln a≤e-1,从而可得1 3.8 选址模型。问题描述。设有m个村庄各有小学生人，现要合建一所小学校，使全部学生所走的总路程最短，问应如何选择校址？建立模型。设ai的坐标为 xi,yi i 1,2,3 m 校址在 a x,y 处，那么全部学生所走的总路程为 设ei为方向上的单位向量。若令。则等价于。s 的最小值只能在ai i ... 第三章作业。一 同步导学 中推荐阅读的习题。1 例题3 3，关于空预器出口处水蒸汽 的定义及原理，大约值。2 例题3 4，并分析为何发热量低的煤其对应的过量空气系数偏大？2 例题3 8，区别锅炉效率与锅炉机组净效率。二 需要写在作业本上的习题。1 说明尾部烟道氧量与过量空气系数 送风量多少的关系，分... 第三单元第三章第一节绿色植物的生活需要水教学设计 总第课时 学习目标 1.理解植物的生活为什么需要水？2.了解水对植物分布的影响？自觉保护环境，保护水资源。3.通过对有关数据的解读，尝试和领悟解读数据的方法。学习重点 学会说明植物的生活为什么需要水。学习过程 一 课前预习。任务一 理解植物的生活为什...数学建模第三章
2019第三章作业
第三单元第三章