数学建模选拔赛竞赛试题

a题人行道的设计。

某城市的一个居民小区附近有一个公园，公园的简易地图如图，图中每一个小正方形的边长为1米。从居民楼a步行穿过公园到公交车站b只要几分钟的时间。公园由草地、几个花圃、一个水池和一个儿童游乐场组成。

从图中可以看出从a到b有许多种可能的走法。由于每一个人都有自己偏爱的走法，因而草地和其他植物遭到许多破坏，相关部门决定在公园修一条人行道以防止行人再以其他方式在公园里走路，这条人行道是三米宽的沙砾路(在弯曲的地方宽度可能有一点点小的变化)。

1) 如果人行道不能穿过花圃、水池和儿童游乐场，请设计一条尽可能短的从a到b的人行道，并说明你采用的策略；

2) 事实上，修路问题会因为公园不同地方土质的不同，使得造价也不同，在沙地上每平方米的造价为100元，在泥土上每平方米的造价为300元，而移动花圃、甚至在水池上建桥都是可能的，移动一处花圃的花费为每平方米1000元，最窄为2米的桥的造价为每米2000元。请设计一条从a到b的造价尽可能便宜的人行道。

3) 请设计一条考虑两方面愿望(造价最便宜，长度最短等)的你认为理想的人行道，并表述你们的理由。

b题布条缠绕问题。

用宽为w的布条缠绕一段长度为l管道，要求布条紧密贴合管道且不重叠。

1) 假设管道为圆柱形，管道长为5米，截面直径为10cm，现在用宽为5cm的布条缠绕此管道，在不考虑管道两端影响和布条厚度的情况下，布条与管道中线的夹角为多大时，布条能完全缠绕此管道？此时需要多长的布条？

2) 假设管道为正六棱柱，管道长2米，横截面正六边形的边长为cm。现在用宽为cm的布条缠绕此管道，考虑管道两端的影响，但不考虑布条的厚度，布条与管道中线的夹角为多大时，布条能完全缠绕此管道，此时需要多长的布条？

3) 假设布条宽度为w，管道长为l，横截面正六边形的边长为b，考虑管道两端的影响，但不考虑布条的厚度，布条与管道中线的夹角为多大时，布条能完全缠绕此管道？你能得到所需布条长度的计算公式吗？

4) 在第三问的基础上，假设布条的厚度为k，布条与管道中线的夹角为多大时，布条能完全缠绕此管道？