2023年数学建模选拔赛试题

注意事项：1）请各位同学一定要按照模板和格式要求书写**，本科生只选a或b，专科生a、b、c、d题都可选。

2）**写好后，请转换为pdf格式，且以“a数学张三三李四四王五五”的方式命名文件，28日8点前将**发送到邮箱，29日下午在科技楼616门口公布收到**情况。

a 人力资源安排问题。

某高校数学系现有44名教师，其职称结构和相应的工资水平分布如表1所示。

表1 数学系的职称结构及工资情况。

目前，该系承接有4个项目，其中2项项目实践，需要到现场监理，分别在a地和b地，主要工作在现场完成；另外2项是理论研究，分别在c地和d地，主要工作在办公室完成。由于4个项目**于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的报酬不同，具体情况如表2所示。

表2 不同项目和各种人员的报酬标准。

为了保证项目质量，各项目中必须保证各职称人员结构符合客户的要求，具体情况如表3所示。

表3 各项目对专业技术人员结构的要求。

说明：表中“1～2”表示“大于等于1，小于等于2”，其他有“～”符号的同理；

项目d，由于技术要求较高，人员配备必须是讲师以上，助教不能参加；

教授相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对教授的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他职称人员也有不同的限制或要求；

各项目客户对总人数都有限制；

由于c、d两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。

1) 收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是8+12+14+16=50，多于数学系现有人数44。因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使数学系每天的直接收益最大？

并写出相应的论证报告。

2) 以一个星期为周期，如果每个教授最多只能工作四天，每个副教授最多只能工作5天，讲师和助教每天都可以工作。此时如何合理的分配现有的技术力量，使数学系一个星期的直接收益最大？并写出相应的论证报告。

b 客房**确定和预定问题。

旅游景区中的宾馆主要提供举办会议和游客使用。确定房间**以及开展预定服务是是需要解决的问题。本文要求针对下面两个问题进行建模说明。

1. 宾馆往往采用变动**，根据市场需求情况调整**，一般来说旅游旺季**比较高，淡季**略低。往年房间**是确定今年房间**的重要参考依据，下表给出了附表给出了某宾馆2023年1月～2023年12月期间，每月标准间平均**(单位：

元)，用你的模型说明**变动的规律，并据此估计未来一年内的标准房参考**。可以收集更多的数据来佐证你模型的价值（要求注明出处）。

2. 在确定**后，客房通过**或互联网预定，这种预定具有很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预定。宾馆为了争取更大的利润，一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。

为此，宾馆采用一些措施，如要求客户预付第一天房租作为定金。如果客户在前一天中午以前取消预定，定金将如数退还，否则定金将被不再退还。在旅游旺季，宾馆往往可以预定出超过实际套数的客房数，以减低客户取消预定宾馆的损失。

当然这样做可能会带来新的风险，因为届时如有超出客房数的客户出现，宾馆要通过升级客房档次或双倍赔款来解决纠纷，为此宾馆还会承担信誉风险。请在网上搜索一景点宾馆拥有的房间类型、套数、价位、往年游客数等信息，为该宾馆制定合理的预定策略，并论证你的理由。

c 微博的传播。

微博，即微博客（microblog）的简称。它提供了这样一个平台，你既可以作为观众，在微博上浏览你感兴趣的信息；也可以作为发布者，在微博上发布内容供别人浏览。发布的内容一般较短，例如在以内，微博也由此得名。

当然也可以发布**，分享**等。微博最大的特点就是：发布信息快速、信息传播的速度快。

在微博世界里，关注重要的微博是一个重要的话题。名人的微博往往受到的关注度较高，但是名人发表的微博未必是重要的微博。人们发现一个名人博客和一个无名博客有明显区别。

但在固定一段时间之后，人们微博被**的次数就趋于一致了。微博发出去后几分钟里的效果就预示了这条微博以后能产生多大影响。

如果你关注了很多人，重要的博客可能会被大量的微博冲走，最终错失重要信息。一种方法是：通过对新出内容的流行度来进行排序，生成用户的社交时间轴，建立一个系统，对时间轴上的内容进行排序，序的依据可以采用两种度量方式：

最终流行度和发出时间。

建立你的数据获取方式，构建相应的数学模型，能够通过该模型判断已经在网上发布的某个微博能火(或是重要微博)。

d 我国中长期人口结构与经济发展研究。

2023年两会期间传来消息，人口和计划生育委员会将被撤销，其计划生育管理和服务职责将与卫生部合并，组建国家卫生和计划生育委员会。这被外界认为是中国未来将调整人口政策的信号。目前，中国的生育率已经远远低于更替水平，未来人口结构极度老化和急剧萎缩不可避免。

如何适度调整人口政策，增加我国的经济活力，使经济能持续发展，是我国当前宏观人口政策研究的一个重要课题。

问题2：请利用互联网数据，任选一个角度（比如老龄化，延迟退休年龄等），建立数学模型研究人口结构与经济发展的关系。

问题3：基于你的数学模型，说明如何制定有利于经济中长期发展的人口政策，给出你的理由与合理建议，并写封信给国家卫生和计划生育委员会阐述你的观点。