2023年数学建模选拔题

2 深洞的估算。

假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1kg的石头，并准确的测定出听到回声的时间t=5s，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。

1、不计空气阻力；

2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05；

3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025；

4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。

三、组队参赛任选1题建立数学模型并求解。

1、**策略评价。

某种食品的规格为每箱12袋，每袋500克，售价为28.8元/箱，不进行零售。该产品的质量稳定，知名度很高。

假设单位成本(包括生产成本，运输成本和销售成本)比较稳定。该产品有下列四种**活动，每期活动四十天。

活动一：买一箱送四袋该食品；

活动二：每箱有一张刮奖卡。一等奖500名，价值4998元的旅游项目，二等奖10000名，价值918元的商品；

活动三：买一箱送三袋该食品和一张刮奖卡。一等奖同上，二等奖为一袋该食品。此活动中奖率为75%;

活动四：买一箱送两袋该食品和一张刮奖卡。每卡"刮开区"有四种图案之一，具有图案1的卡与另一张其他图案的卡一起才能兑奖。

图案1+图案2获一等奖，图案1+图案3获二等奖，图案1+图案4获三等奖。一等奖约5000元，二等奖约900元，三等奖为一袋该食品。

试分析并解决下列问题：

1.多年的销售经验发现，前三种活动的销量和利润基本相同。试测算该产品的销量与成本。

2.试设计活动四中各种图案卡的印数，使其效果与前三种**方案基本相同。

3.市场还有同类产品竞争，假设活动期的销量与非活动期的销量之比为4:3.试设计一个利润更好的销售方案。

4.在问题3的假设下，设计一个综合考虑利润和市场占有率的较好销售方案。

2、送货问题。

某地区有8个公司(如图编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料a,b,c从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图１)。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。

每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.

4元/公里。一个单位的原材料a,b,c分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表)。

问题：

1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。

2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应如何调度？

3、(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.

4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。

图唯一的运输路线图和里程数。

表各公司所需要的货物量。