数学建模历年竞赛试题

前言 - 0 -

目录 - 1 -

一、什么是数学模型 - 3 -

2024年b题……公交车调度 - 4 -

2024年c题……**使用计划 - 8 -

2024年a题……车灯线光源的优化设计 - 9 -

2024年b题……彩票中的数学 - 10 -

2024年a题……sars的传播 - 13 -

2024年b题……露天矿生产的车辆安排 - 20 -

2024年d题……抢渡长江 - 22 -

2024年c题……饮酒驾车 - 24 -

2024年b题……电力市场的输电阻塞管理 - 25 -

电力市场交易规则： -25 -

输电阻塞管理原则： -26 -

表1各机组出力方案（单位：兆瓦，记作mw） -28 -

表2各线路的潮流值（各方案与表1相对应，单位：mw） -29 -

表3各机组的段容量（单位：mw） -30 -

表4各机组的段价（单位：元/兆瓦小时，记作元/mwh） -30 -

表5各机组的爬坡速率（单位：mw/分钟） -30 -

表6各线路的潮流限值（单位：mw）和相对安全裕度 - 30 -

2024年b题……高等教育学费标准** - 31 -

2024年d题……nba赛程的分析与评价 - 32 -

2024年a题……制动器试验台的控制方法分析 - 33 -

2024年b题……眼科病床的合理安排 - 35 -

附录】2008-07-13到2008-09-11的病人信息 - 36 -

2024年d题……会议筹备 - 49 -

附表1……10家备选宾馆的有关数据 - 49 -

附表2……本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人） -50 -

附表3……以往几届会议代表回执和与会情况 - 50 -

附图（其中500等数字是两宾馆间距，单位为米） -51 -

二、为什么要学习数学模型 - 52 -

1、数学模型无处不在，我们的生活、工作、学习都离不开它 - 52 -

例1买房贷款问题 - 52 -

例2物体冷却过程的数学模型 - 53 -

2、是学好数学用好数学的必经之路 - 55 -

3、是数学教学改革的重要手段和有效路径 - 56 -

4、数学建模竞赛所提唱的团队精神是现代大学生必须具备素质 - 58 -

5、数学建模竞赛鼓励学生用跳跃式的、发散式的形象思维方法，这有利于培养学生的创新意识。 -58 -

6、数学建模可以培养学生创新意识和创造精神 - 59 -

7、数学建模是培养学生综合素质的好方法好途径 - 60 -

8、数学模型可以培养学生理论联系实际的能力 - 60 -

三、怎样学习数学模型和怎样选写数学模型** - 61 -

四、全国大学生数学建模竞赛简介 - 62 -

1、竞赛的由来及现状 - 62 -

2、数学建模竞赛的特点 - 63 -

3、如何写作数学建模竞赛** - 64 -

现在我们就讲第一个问题，什么是数学模型。为此，我们先看几个全国大学生数学建模竞赛题：

公共交通是城市交通的重要组成部分，作好公交车的调度对于完善城市交通环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益，都具有重要意义。下面考虑一条公交线路上公交车的调度问题，其数据来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调查和运营资料。

该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，第3—4页给出的是典型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计。公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准载客100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过 120%，一般也不要低于50%。

试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案，包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。

如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型，指出求解模型的方法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案，应如何采集运营数据。

某校**会有一笔数额为m元的**，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。

校**会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原**数额。校**会希望获得最佳的**使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校**会在如下情况下设计**使用方案，并对m=5000万元，n=10年给出具体结果：

1、只存款不购国库券；

2、可存款也可购国库券；

3、学校在**到位后的第3年要举行百年校庆，**会希望这一年的奖金比其它年度多20%。

安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。

要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。

该设计规范在简化后可描述如下。在焦点f正前方25米处的a点放置一测试屏，屏与fa垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过a点引出一条与地面相平行的直线，在该直线a点的同侧取b点和c点，使ac=2ab=2.

6米。要求c点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），b点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。

请解决下列问题：

1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。

2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。

3）讨论该设计规范的合理性。

近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额**使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。

传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。

以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（x表示未选中的号码）。

表一。乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。

投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。

这两种方案的中奖等级如表二。表二。

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