数学模型试题及答案。
一．简答题。
1、什么是数学模型？（5分）
答：数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。
2、建立数学模型的方法有哪些？（5分）
答：一般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类，一类是机理分析方法，一类是测试分析方法。同时也可以说成：机理分析、统计分析、系统分析相结合。
二、.智力题九宫图，请把1,2,3,4,5,6,7,8,9填入3乘以3的正方形格子，使3个行中每个行的数字总和为15,3个列中每个列的数字总和也15,两个对角线数字总和也15. 建模求解出这9个数字的填法。
1) 先证明填入中间格数字为5 (7分)
2) 用推理或建立模型方法求出其它数字(建模只说明求解，不求具体解，8分)
解：1) 把第2行，第2列，两对角线所有数字相加，12,3,4,5,6,7,8,9数字各出现1次，而中间数字记为x多出现了3次，列出方程4分2分)
解方程得 x=51分)
中间格x22为5
2) 数字1不能填对角，否则相应一个对角为9
而1对应行，列总和为14,而14=6+8仅有一种排法。
由对称性有右图填法2分)
把余下数分3个一组，按总和为15分为。
第一组(3,4,8)预放入第1行，
第2组(2,6,7) 预放入第3行2分)
调整次序不难得出右图最终结果。
2)别一法：利用上图列出方程。
5分)解空间是1维，取k为自由变量(k=2,3,4,,6,7,8),取k=2时其它变量全为整数3分)
三． 不允许缺贷的存贮模型，试作出一些必要而合理的假设，建立的数学模型并求解(共15分)
解：模型假设：
1. 产品每天需求量为常数r2分)
2. 每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c22分)
3. 生产能力无限大 (2分)
模型建立。一周期总费用如下：
3分)一周期平均费用为。
2分)模型求解：用微分法解得。
周期2分)贮存量2分)
四．建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球的初速度为，出手高度为，出手角度为2，（与地面夹角），试建立投掷距离与的关系，并求在一定的条件下最佳的出手角度2。
解：如图建立坐标系，易得时刻铅球的位置满足如下方程。
8分 解之得1）
2） …10分。
由（2）令，求得铅球的落地时间。
代入（1）求得掷远为。
……（3） …13分。
3）又可表示为：
令得出最佳出手角度 ……15分。
五．经济型捕鱼模型是。
其中00试求出平衡点，并判断平衡点稳定性。
解：解方程得到平衡点2分）
设右2元函数求偏导得。
（2分）平衡点时，系数矩阵2分）
不难得出特征方程2分）
的两个特征根是实部是负数，其是稳定的，中心2分）
六、相对总目标c，准则的权重为，相对与准则，方案的判断距阵为，
相对与准则，方案的判断距阵为，试用和法求方案对总目标的权重。
答：中各列归一化
各行求和再归一化6分。
中各列归一化
各行求和再归一化6分。
所以三个方案对总目标的权重为：
3分。七、理事会有5个常任理事和10个非常任理事，提案仅当全部常任理事和至少4个非常任理事赞成时方可通过，求每位常任理事和每位非常任理事在投票中的权重。（10分）
解：设，其中表示常任理事，表示非常任理事，特征函数定义为：
当中任意个元素的集合，时，，当为的其它子集时，特征函数取1的子集共有个，且每个的。
而 常任理事在投票中所占的权重为0.196，而非常任理事在投票中所占的权重为：0.002。
八、设三家公司同时向市场投放一种轮胎，当时三家公司所占的市场份额相等，但在第二年中，市场份额就发生了如下变化。
甲公司保持其顾客的80%，丧失5%给乙，丧失15%给丙。
乙公司保持其顾客的90%，丧失10%给甲，没有丧失给丙。
丙公司保持其顾客的60%，丧失20%给甲，丧失20%给乙。
假设顾客的购买倾向与第二年相同，试问第三年底三家公司各占多少市场份额？若依此发展下去，市场如何分配？
解：状态定义为。
则容易得到转移概率矩阵，
以表示第n年三公司所占市场份额。
则1）又已知：
当时，三公司的市场占有率设为。
则有： 由此解得。
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