制动器试验台的控制方法分析。
摘要。本文通过对汽车制动器试验台的试验原理和试验过程的分析，利用刚体力学以及自动控制原理，给出了制动器试验台的控制方法分析．
首先，通过对汽车制动器试验台模拟路试的原理和过程的分析，并结合刚体力学的基本原理，求出了问题1中的等效转动惯量与问题2中的电动机所补偿的惯量．
对于问题3，利用转动动能定理及相关力学原理，给出了电动机驱动电流关于飞轮角加速度的函数关系式。
其中比例系数，为电动机补偿的惯量，进而得到电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型．由该模型可以看出，对电动机驱动电流的控制和对飞轮角加速度的控制是等效的．在此基础上，结合问题3中的已知数据，求出了相应的驱动电流．
利用统计方法和能量误差分析方法，分别对问题4中所给控制方法的执行结果进行综合评价．从相对标准差来看，该控制方法的误差并不大，稳定性也很好．从能量误差来看，该控制方法也具有一定的可行性．此外，利用问题4中的已知数据，对问题3中的数学模型进行了检验．结果表明，该数学模型能够更好的刻画制动器试验台的制动过程．
利用自动控制中的微分控制方法，给出了制动器试验台的微分控制流程图，并用c语言对其模拟，得到调控后的扭矩-时间关系图，进而说明该微分控制是很稳定的，且其超调也很小．此外，利用能量误差对该控制方法进行评价，结果表明，其能量误差是很小的．从而表明，我们所设计的微分控制比问题4中所给的控制更具有可行性．
最后，我们对所设计的微分控制进行了灵敏度的检验．结果表明，如果将随机误差范围扩大一些，扭矩随时间的变化将会变得很不稳定；而如果将随机误差范围缩小一些，扭矩随时间的变化将会被抹平成一条直线．这说明，我们所设计的微分控制对随机误差具有很高的灵敏度．此外，我们还在微分控制过程中，随机的加入了一个阶跃干扰，结果得出的扭矩-时间曲线出现了一个奇异点．为此，我们在微分控制中加入一个门坎限位滤波器，并用c程序对其进行了模拟．模拟结果显示，加入滤波器后，阶跃干扰被滤去了，即扭矩-时间曲线中的奇异点消失了．由此可见，在微分控制中加入一个滤波器，可以有效的提高系统的抗干扰能力，进而完善了我们所设计的微分控制方法．
关键词：转动惯量；驱动电流；自动控制；能量误差。
一、问题重述。
汽车行车制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试．在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标．假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动．
为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试．但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验．模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器．制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成．当制动器工作时会使主轴减速．试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动．
路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷．将这个载荷的在汽车平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴的转动能量，与转动能量相应的转动惯量称为等效的转动惯量．试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量．飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量．假设有4个飞轮，其单个惯量分别是 kg·m2，基础惯量为10 kg·m2，则可以组成10，20，30，…，160 kg·m2的16种数值的机械惯量．但对于等效的转动惯量为45.7 kg·m2的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验．这个问题的一种解决方法是：把机械惯量设定为40 kg·m2，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则．
假设电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 a/n·m）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量．
由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的．工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动．
评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，这里，能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差．通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差．
现在，我们要解答的问题是：
1. 设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 n，求等效的转动惯量．
2. 飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.
0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kg·m2，问可以组成哪些机械惯量？
设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 [-30, 30] kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？
3. 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型．在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流．
4. 对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kg·m2，机械惯量为35 kg·m2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表．请对该方法执行的结果进行评价．
5. 按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价．
6. 第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价．
二、模型假设。
1. 试验台看是运转时，转速处于不稳定状态，从而使转速关于时间的函数为非线性的．鉴于非线性问题的复杂性，本文只考虑转速处于稳定状态的情形．从而假设转速关于时间的函数为线性函数；
2. 车轮是圆盘形的，飞轮是圆筒状的；
3. 试验台的采样周期为10ms，在这10ms内试验台处于非监测状态，即失控状态．假定试验台在失控状态下不会出现阶跃性扰动；
4. 忽略观测误差和连续问题离散化所产生的误差．
三、符号说明。
四、模型的建立与分析。
1. 等效转动惯量。
车辆在制动时，单个前轮承受的载荷具有的动能为。
此外，当试验台上飞轮和主轴等机构以角速度转动时，其转动动能为。
由于这两个能量是相等的，即。
由，及以上各式可以解得。
已知，，，从而所求的等效转动惯量为。
2. 机械惯量和补偿惯量。
由圆筒状物体转动惯量的计算公式（见文[1，]）可知，．而。
由以上两式可知，．
由已知，，，从而三个飞轮的转动惯量分别为，．
此外，．由排列组合知识可知，三个飞轮的转动惯量与基础惯量可以组成机械惯量的数量为，分别为，由于电动机能补偿能量的相应惯量的范围为，可以发现与问题1中得到的等效转动惯量最接近．于是，需要用电动机补偿的惯量为。
3. 电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。
1) 模型建立。
令为飞轮所受力矩做的功，为飞轮的转动动能．飞轮在转动过程中受到阻力矩和电机扭矩m的作用而做减速转动．根据转动动能定理（见文[2，]）有。
又w是力矩对角位移的空间积累效应，即。
此外，飞轮转动动能的增量为。于是。
由于时间步长极小，可以认为在t到这段时间间隔里角加速度不变，则有。
另一方面，根据转动定理（见文[2，]）有。
事实上，w是由两部分组成的，即做的功和m做的功．结合(1)式，如果将m做的功从总扭矩做的功之中分离出来，便有。
将m从(2)式中分离出来，可得。
而扭矩和驱动电流的关系为。
其中．进而可得电动机驱动电流依赖于飞轮角加速度的数学模型。
2) 驱动电流的计算。
记为车辆平动速度关于时间t的函数，为飞轮角速度关于时间t的函数，则初始速度，末速度．经过单位换算可以得到。
又车轮的角加速度为。
于是，由(3)式可得电机扭矩为。
由 (4)式可得所求驱动电流为。
4. 所给控制方法执行结果的评价。
下面我们利用统计的方法与能量误差的方法来评价所给控制方法的执行结果．
首先我们根据所给数据，利用matlab作出转速-时间曲线图和扭矩-时间曲线图，如下。
图1：转速-时间关系图。
图2：扭矩-时间关系图。
从图1和图2中可以看出，飞轮开始转动时（约0到1s），角速度和电机扭矩处于不稳定状态，而在1s以后角速度开始大致成线性变化，电机扭矩在某个固定值上下振动，变得很有规律．为了便于分析，我们只研究飞轮在1s以后的运动状态．
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