储油罐的变位识别与罐容表标定。
摘要。加油站地下储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因会发生纵向倾斜及横向偏转，导致与之配套的“油位计量管理系统”受到影响，必须重新标定罐容表。做为一个实际问题，我们首先进行了模型简化，将实物简化为几何模型，方便求解。
然后我们运用了立体几何，解析几何，微积分，误差分析等数学手段对问题进行求解。
对于问题一，首先将油罐简化为一个横置的椭圆柱。油罐无变位时，利用微积分建立了储油量与油位高度的模型。油罐发生纵向变位后，一共有三种情况，我们着重对一般情况进行分析，建立适当的坐标系，利用微积分知识，结合数学软件matlab建立了储油量与油位高度的模型。
对测量数据和理论数据进行误差分析，可以发现，偏差值与油位高度成一次线形回归关系，这样我们得到：
利用上式，我们完成了油罐变位前后两次油位高度间隔1cm罐容表标定，比对两个罐容表，进行数据分析，发现发生变位后，当纵向变位角一定时，标定值受油量的影响，二者大致呈二次函数关系，即油量较少或油罐将近满时对标定值影响较小，在中间部分，油量对标定值影响较大。
对于问题二，我们将油罐分成三部分，中间的圆柱体部分和两端球冠部分。首先我们采用了割补法，对油罐进行了割补处理。这样，就将一个比较复杂的问题简单化，利用积分法确定了中间圆柱内储油量与油位高度的关系，再利用投影法和二重曲面积分求解球冠部分储油量与油位高度的关系，综合考虑变位角，建立实际储油罐与油位高度的模型，要确定变位角，就要利用题目给出的数据，任取一组，结合所建立的模型，确定相应的变位角和。
利用所得模型对罐容表进行间隔10cm的标定。，关键词】微积分投影法割补法线形回归误差分析
1 问题重述。
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
2基本假设。
1) 假设储油罐具有刚性，只有变位，没有发生横向或纵向形变；
2) 假设储油罐密封性良好，没有发生油泄露等；
3) 忽略储油罐的厚度，图示数值无偏差；
4) 忽略油位探针，油浮子，注油管，出油管的体积对所测油量数值的影响；
5) 忽略天气，温度对储油罐，油的影响；
6) 假设附录数据在理想状态下（比如油面平静无波澜）得到，误差较小；
3问题分析。
本题是一个关于加油站储油罐油量计算的问题，做为一个实际问题，考虑到影响因素比较法繁多，一般处理起来都比较麻烦，我们将此题模型进行适当的简化，首先了解储油罐的简化模型，这可以给解题提供切入点。然后利用解析几何，立体几何，微积分，投影等知识进行分析建立模型。此题分为两个阶段，第一阶段是储油罐没有发生变位前，确定储油量与油位高度的关系；第二阶段是储油罐发生变位后，储油量与油位高度的关系。
所建立的模型就是研究解决二者之间的关系，因为要确定变位后对罐容表的影响，所以分别建立变位前后的模型，然后再分析数据，从而完成罐容表的标定。
对于问题一，储油罐没有发生变位时，首先将实物简化为数学模型，建立适当平面直角坐标系，，将空间问题转化为平面问题，利用微元积分法计算横置椭圆柱横截面油位高度与横截面对应面积的关系，再应用空间解析几何的方法将其转化为空间问题，从而建立油位高度与储油罐的模型。当储油罐发生变位后，由于变位角和储油量的影响，会出现三种不同状态，但是，三种状态建立模型的方法大同小异，首先建立空间直角坐标系，确立任意横截面的面积与坐标的函数关系，再利用二重积分法在y轴方向，建立油位高度与储油量的模型，达到罐容表的标定。问题要求研究变位对罐容表的影响，所以，要确定前后两次的罐容表，然后进行数据比对，得到正确的解答。
对于问题二，就是在问题一的基础上增加难度，两端由平面变成了球面，中间部分变成了圆柱体，而且不仅有纵向变位，还有横向变位，这样就增加了计算的难度。还有我们将模型分为三部分，中间圆柱体部分和两端球罐部分，主要采用二重积分法确定建立油位高度与罐内储油量的模型。对于中间部分，由于是标准的圆柱，所以处理起来比较容易，方法类似与第一问。
对于两端的球冠，如果直接采用积分的方法比较复杂，首先通过空间立体几何确定其所在圆的半径，再建立适当的空间直角坐标系，主要采用割补法，将不规则的形状，割补成比较好处理的形状，再采用积分的方法，借助专业的数学软件得到油位高度与球冠体积的关系，结合考虑到两个变位角，将这两部分的体积用一定的数学手段结合起来，这样就建立了储油量与油位高度的模型。对于变位角和的确定，则采用题目给出的测量数据，与我们建立的模型相结合的方法得到。这样，我们再根据所建立的模型对实际储油罐进行间隔为10cm的罐容表标定。
4符号说明。
-油罐储油量横截面的面积；
-油罐理论储油量；
-油罐实际储油量；
-小椭圆型油罐长度；
-纵向倾斜角度；
-横向倾斜角度；
-测量数据与理论数据偏差值；
-油位高度；
-任意截面油面高度；
-最大截面的油面高度；
-球冠所在球的半径；
5模型建立。
5.1 小椭圆型油罐。
5.1.1小椭圆型油罐没有发生变位。
建立如图所示平面直角坐标系，因为没有发生变位，所以油罐内任意截面的油位高度是一致的，只需要确定如图5所示阴影面积，便可确定储油量。椭圆形的表达式为：
式中： 用y表示x，则。
横截面所示阴影面积：
储油罐中油量的体积为：
式中： 利用matlab软件编程，代入数据解得：
采用实际测量数据，利用matlab软件拟合出油位高度与储油量的曲线，在同一坐标系中，在用散点图表示出理论实验油位高度与储油量的关系，如图6所示。
再分析实验数据，可知实验数据与理论数据的误差在之间，说明，所建立的模型比较符合实际。同时，不可忽略，油量偏差随着油位高度的增加而增大，我们不知道这种偏差如何产生，但是，我们可以用软件matlab拟合出油量偏差值与油位高度的散点图，如图7，通过观察分析，可以直观的发现，二者满足一次线性关系：
这样，就可以得到储油量与油位高度的最终模型表达：
5.1.2 储油罐发生变位。
储油罐发生变位后，由于油罐内油量与变位角的不同，一共会呈现三种不同的状态，如图8所示。
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