储油罐的变位识别与罐容表标定。
摘要。本文主要研究如何识别地下储油罐变位以及对罐容表的重新标定的问题，通过积分和模拟的方法得到储油罐的总油量与油标高度、纵向反转角、横向偏转角之间的关系模型。根据该模型可根据加油站的出油量以及对应的油标高度来识别储油罐的变位，同时给出变位后的罐容表。
针对问题一，我们用微积分的方法建立油位高度及储油量之间的数学模型。并给出了罐体变位后油位高度间隔为的罐容表标定值。
针对问题二，同样也用了微积分的方法，将罐容体的体积分成两部分来求解，得到储油量与油位高度及变位参数的理论关系式，将理论值与实际值进行比较，直到得到最符合实际的变位参数值。但由于计算较复杂，我们没有得到具体的变位参数值。因此我们又对模型进行了改进，对油面我们假设是水平的，在油面高度上对截面积求积分。
关键词：积分，罐容表。
1 问题重述。
通常加油站都有储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生变位，从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐，分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
2 问题分析。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生变位，从而导致罐容表发生改变。因此我们需要建立模型解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
对于问题一，我们用到了数学中的积分方法。罐体无变位时，沿罐体轴向方向的截面积在各个部分均相等，所以我们只需要用一重积分即可求出是关于油位高度的体积方程；对于罐体倾斜角=4.10的纵向变位，因为沿罐体轴向方向的截面积在各个部分均不相等，所以需要利用累次积分，将燃油的体积分成无限个极小的椭圆状体，然后在罐体长度上积分求解。
最后对所求得的值进行检验。
对于问题二，在求解罐内储油量时，我们也用数学中的积分方法。根据储油罐的形状，将体积分成两部分来求解。中间主体部分体积的求解，需要先找到关于油位高度的截面积方程，然后再在罐体轴向上积分求解；两端球罐体体积的求解，我们假想油面垂直于两端球罐罐面，然后建立积分方程求解。
确定纵向倾斜角度和横向偏转角度，对取一个范围，将的不同值代入理论体积公式，将结果与实际值比较，直到找到最适合的值。
3 模型假设。
1）罐容体的厚度不计；
2）油位探针、油浮子、流量计、油位计等占有的体积忽略不计；
3）各点处油的密度相同；
4）纵向倾斜角度和横向偏转角度均小于。
4 符号说明。
小椭圆油罐截面椭圆的长轴；
小椭圆油罐截面椭圆的短轴；
油浮子到油罐右端面的距离；
油浮子到油罐左端面的距离；
油位高度；实际储油罐圆柱截面的半径；
储油罐的储油量；
纵向倾斜角度；
横向偏转角度。
5 模型的建立与求解。
5.1 问题一的模型建立与求解。
5.1.1小椭圆油罐罐体无变位的数学模型。
当罐体无变位时，沿罐体轴向方向的截面积在各个部分均相等，所以我们只需要用一重积分求出截面积，然后乘以罐体长度，所得乘积即是关于油位高度的体积方程。
为了方便求解，我们简易的画出小椭圆油罐的截面示意图5-1：
图5-1小椭圆油罐的截面示意图。
设：油位高度为，椭圆方程为。
在方向上取椭圆面中的一微元积分得到油的截面积1)
由2)则积分方程为3)
小椭圆油罐的体积等于截面面积乘以油罐的长度，即。
将代入上式得。
5.1.2小椭圆油罐罐体倾斜纵向变位的数学模型。
当小椭圆油罐罐体纵向变位时，在罐体轴向上的各截面面积不同，所以我们考虑将燃油体积分成无数个小椭圆体体积，然后积分求解。
画出罐体纵向变位的简易图，见图-1-3：
设：油位高度为，油浮距油罐左壁面的距离为，距离右壁面的距离为；
5-1-2小椭圆油罐纵向倾斜的正面示意图 5-1-3小椭圆油罐纵向倾斜的截面示意图。
我们只考虑油浮子在罐体上表面以下的情况，即：
假设在罐体纵向变位时油浮仍然平行于罐体壁面，建立求燃油体积的积分方程：
由图1-2可知距离端点处的燃油高度5)
建立截面积的积分方程：, 6)
在罐体轴向方向上将罐体长度分成无限个极小区域，每个区域的高度为，对每一个极小区域积分，最后求出燃油体积：
每一个极小区域体积7)
燃油总体积8)
将(6)、(7)式代入（8）式得。
其中，将各数据代入，求得以下油位高度与燃油体积的关系式：
将间隔为代入（10）式（注：（10）式中的单位为，计算时要进行单位的换算），即可得到罐体变位后油位高度间隔的罐容表标定值：见表5-1
由于油位探针、油浮子、流量计、油位计、罐体厚度等都占有一定的体积，使得所求的结果存在误差，现对误差进行检验。将理论标定值与实际标定值做差，所得结果如下图：
图5-1-4理论值与实际值的差。
表5-1小椭圆罐体变位后油位高度间隔的罐容标表标定值。
5.2 问题二的模型建立与求解。
5.2.1 实际储油罐变位后的储油量模型。
中间圆柱体的储油量加上两端球罐体的储油量即是实际储油罐变位后的总储油量。实际储油罐纵向倾斜变位后中间圆柱体正面示意图如图2-1，截面图如图-3。
1)计算中间圆柱体的储油量：
设：为油浮子的高度，为油面上一点距左端面的距离，油浮距油罐左壁面的距离为，距离右壁面的距离为；
a）正面示意图b)截面示意图。
图5-2-1实际储油罐纵向倾斜变位后中间圆柱体的示意图。
由图5-2-1（a）可以看出距离端点处的燃油高度：
当》r时，我们可以得到实际储油罐纵向变位后的中间圆柱体的截面示意图，见图5-2-1（b）。
由图2-1(b)可以看出阴影部分的截面积=三角形面积+扇形面积。
三角形面积：
扇形面积：
截面积=三角形面积+扇形面积，即：
燃油体积：在油罐轴向方向上积分得到积分式：
当图5-2-2实际储油罐纵向变位后的中间圆柱体的截面示意图。
图中阴影部分的面积=扇形面积—三角形面积，即：
燃油体积：在油罐轴向方向上积分得到积分式。
2）计算两端球罐体的储油量：
我们假设储油罐纵向倾斜后油面仍然平行于地面，此假设对于左右球罐体的倾斜部分的储油量大抵相互抵消。
建立左端球罐体储油量的数学模型：
图5-2-3 储油罐截面示意图。
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