数学建模部分定义概念。
第一章。1.1 实践、数学与数学模型。
一、相关概念（特定对象特定目的特有内在规律）
1.原型：客观存在的各种研究对象。既包括有形的对象，也包括无形的、
思维中的对象，还包括各种系统和过程等。
2.模型：为了某个特定的目的，将原型的某一部分信息简缩，提炼而构。
造的整个原型或其部分或其某一层面的替代物。
3.原型与模型的关系：原型是模型的前提与基础，模型是原型的提炼与。
升华。原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求反映与某些目。
的有关的那些方面和层次。
二、什么是数学模型（mathematical model
对于现实世界中的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特。
有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到。
的一个数学结构。
广义上讲，数学模型是指凡是以相应的客观原型作为背景，加以一级抽。
象或多级抽象的数学概念、数学式子、数学理论等都叫数学模型。
狭义上讲，数学模型是指那些反映特定问题或特定事物的数学符号系统。
我们所指的数学模型是指狭义上的数学模型）
数学模型不是原型的复制品，而是为了一定的目的，对原型所作的一种。
抽象模拟。它用数学算式、数学符号、程序、图表等刻画客观事物的本质属。
性与内在关系，是对现实世界的抽象、简化而有本质的描述，它源于现实又。
高于现实。
三、什么是数学建模。
数学建模是指应用数学的方法解决某一实际问题的全过程。包括：
（1）对实际问题的较详细的了解、分析和判断；
（2）为解决问题所需相关数学方法的选择；
（3）针对实际问题的数学描述，建立数学模型；
（4）对数学模型的求解和必要的计算；
（5）数学结果在实际问题中的验证；
（6）将合理的数学结果应用于实际问题之中，从而解决问题。
四数学建模流程图（参见教材上册p14）
1实际问题。
2抽象、简化、假设，确定变量和参数。
3 根据某种“定律”或“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系，即在此简化阶段上构造数学模型。
4解析地或近似地求解该数学模型。
5用实际问题的实测数据等来解释、验证该数学模型（若不通过，返回第2步）
6投入使用，从而可产生经济、社会效益。
完美的图画---**分割。
**分割又称**律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整。
体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为。
1:0.618或1.618:1，即长段为全段的0.618。
所谓**分割，指的是把长为l的线段分为两部分，使其中一部分对于。
全部之比，等于另一部分对于该部分之比。
计算**分割最简单的方法： 计算斐波那契数列 1,1,2,3,5,8,13,21,..从第。
二位起相邻两数之比，1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,..的近似值。
1.2 八步建模法。
1. 问题提出。
2.量的分析。
3. 模型假设。
4. 模型建立。
5. 模型求解。
6. 模型分析。
7. 模型检验。
8. 模型应用。
数学建模采用的方法（详见教材p11）
1. 机理分析法： 在对研究对象内部机理分析的基础上， 利用建模假设所给出。
的建模信息或前提条件及相关领域知识、相应的数学工具来构造模型。
2. 系统识别建模法： 对系统内部机理不清楚的情况下， 利用建模假设或实际。
对系统的测试数据所给的系统的输入输出信息及数据， 用纯粹的数学方法确。
定模型形式，借助于概率论和数理统计来辨识参数构造模型。
3. **建模法： 利用各种**方法建立数学模型。
4. 相似类比建模法： 借助于相似原理和事物之间的类比关系进行建模的方法，是根据不同研究对象之间的某些相似性（数学相似、物理相似和其他相似）
借用移植领域的数学模型老构造数学模型的方法。
1.3 数学模型的分类（参见教材上册p15）
1、按建模的数学方法划分：初等模型、数学规划模型、微分方程模型、
差分方程模型、概率统计模型、图论模型、模糊模型和灰色模型等；
2、按建模中变量特点划分：确定性模型与随机性模型、静态模型与动。
态模型、线性模型与非线性模型、离散模型与连续模型；
3、按应用领域划分：人口模型、交通模型、环境模型、规划模型、生。
态模型、资源模型等；
4、按建模的目的划分：描述模型、**模型、优化模型、决策模型、
控制模型等；
5、按对问题的了解程度划分：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等；
分类5的具体解释：
1）白箱模型(white box)
对系统相当了解，利用系统的机理方程建立起来的数。
学模型，通常采用机理建模。
2）黑箱(black box)模型。
对系统并不了解，利用实验得到的输入输出数据来构。
建系统的等价模型，通常采用统计建模。
3）灰箱(gray box)模型。
介于白箱模型和黑箱模型之间的模型。
1.4 数学模型特点与建模能力培养。
一、数学模型的特点。
1、逼真性和可行性：模型越逼真就越复杂，应用起来费用越高，常与取得的效益。
不成正比。所以需要对逼真性与可行性进行折衷。
2、渐进性：数学模型通常不会是一次就成功的，往往需要反复修正，逐渐完善。
3、强健性： 对于已建好的数学模型，当观测数据有微小的改变或者模型结构及。
参数发生微小变化时，模型求解的结果也随之发生微小的变化。
4、可转移(移植)性：数学模型是现实对象抽象化产物，它可能与其它领域其它。
事物有共性。常常好多领域不同事物却共有几乎相同数学模型。
5、非预制性：大千世界变化莫测，千姿百态，不能要求把所有的模型做成预制品。
供我们使用。建镆时遇到的问题往往事先没有答案， 因此必须创新，产生新方法、
新概念。 6、条理性：从建模角度出发，人们对现实对象分析应该全面、深入，更具有条理性。即使建模失败，对解决研究实际问题也是有利的。
7、技艺性： 建模与其说使一门技术，不如说是一种技艺很强的技巧。
艺术。期间经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉灵感起的作用。
往往比数学知识更大。人的知识是有限的，想象力是无限的。
8、局限性： 由于建模时往往会把现实对象简化、近似、假设，因此当模型应用到实际时就必须考虑被忽略的简化因素。于是结论往往是相对的、近似的。
另外，由于人类认识能力受科学技术以及数学本身发展水平的限制，至今还有不少实际问题没有建立出有价值的实用的数学模型，如中医诊断等。
二、数学建模能力的培养（教材上册p16）
1）数学知识的积累；
（2）学好数学模型课，多看、多学数学建模案例；
（3）留心各样事物，培养观察能力和用数学解决问题的思想；
（4）需要丰富的想象力与敏锐、深刻的洞察力；
（5）兴趣是学习的动力，努力培养建模兴趣；
（6）与计算机的紧密关联，学会使用相关软件；
（7）虚心学习，注重团队意识和团结协作；
（8）学会类比，做到“由此及彼和由彼及此”，培养发散思维能力；
（9）培养自学能力，能快速获取新知识，并能学以致用；
（10）学会从杂乱无章的各种信息中快速挑选收集有用信息，利用。
图书馆、网络查找相关资料。
第二章初等数学模型
2.1 比例分析法建模。
比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体。
的构成或者结构。数学上表示两个比值相等的式子叫做比例。在一个比例。
中，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质。求比例的未。
知项的过程，叫做解比例。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中。
相对应的两个数的比值（商）一定，两种量就叫做正比例的量，他们的关。
系叫做正比例的关系。如果两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种。
量就叫做反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
比例在日常生活中的重要应用】
比例是最基本、最初等的数学概念之一，日常生活中的许多实际问题。
所指向的对象都蕴含着比例关系，运用比例关系可以建立数学模型，对实。
际问题进行描述与求解。
例如：若两个物体的特征长度之比为1:λ，则其表面积的比例为1:λ2，其体积的比例是1: λ3。这反映了一些实际对象中包含的变量之间满足的内。
在规律。（详见教材上册p18）
本节研究“商品包装成本的确定问题”的数学建模问题。
2.6 图论方法在数学模型中的运用。
一、图论的起源。
图论是组合数学的一个分支，起源于2023年欧拉的第。
一篇关于图论的**， 这篇**解决了著名的哥尼斯堡七。
桥问题，从而使欧拉成为图论的创始人。
在图中，用点代表各个事物，用边代表各个事物之间的二元关系。因此。
图是研究集合上二元关系的工具，图论给含有二元关系的系统提供了数学模。
型，是建立数学模型的重要手段。由于计算机的迅速发展， 有力推动了图论。
的发展，使得图论成为数学领域里发展最快的分支之一。
二、相关的图论知识。
定义(图) 图是一个有序二元组g＝,其中v(g)＝为。
顶点集， e(g)＝为边集， v＝v(g)中的元素vi称为顶点，e＝e(g)中的。
元素ek叫做边。顶点总数记为|v(g)|,边的总数记为|e(g)|。
若|v(g)|=n,则称g为n阶图。
若|v(g)|与|e(g)|均为有限数，,则称g为有限图。
三、最短轨道问题。
给定连接若干个城市的铁路网，寻找从指定的某城市到其余城市的最短路。解决该问题的数学模型如下。
设 w: e(g)→r, w(e)叫做图g中的边e的权。对任意的a∈v(g), 寻找轨道。
p(a0 , a),使得 w(p(a0 , a))=min, a∈φ,其中φ是从a0到轨道的集合，w(a)是轨道a上各边权之和。
求解该最短路问题的迪克斯。
设d(a)表示a到a0的距离。
(1) 令d(a0)=0, d(a)=+a0≠a ; s0=, i=0；
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