2019数学建模期末试题A

《数学建模》试卷首页。

数学建模”考试说明：

1．本课程考试为开卷考试，按规定时限交卷。且开卷考试要求独立完成。雷同卷一律作废。

2．交卷时间4月8日中午12：00——13：00。

3．认真填写试卷首页各项内容，不能空白。

2008《数学建模》考试题（开卷）

1．讨价还价中的数学。在当前市场经济条件下，在商店，尤其是私营个体商店中的商品，所标**与其实际价值之间，存在着相当大的差距。对购物的消费者来说，希望这个差距越小越好，即希望比值接近于1，而商家则希望。

这样，就存在两个问题：第一，商家应如何根据商品的实际价值（或保本价）来确定其**才较为合理？第二，购物者根据商品定价，应如何与商家"讨价还价"？

第一个问题，国家关于零售商品定价有相关规定，但在个体商家实际定价中，常用"**数"方法，即按实际价定出的**，使。虽然商品价值位于商品**的**分割点上，考虑到消费者讨价还价，应该说，这样定价还是较为合理的。

对消费者来说，如何"讨价还价"才算合理呢？一种常见的方法是"对半还价法"：消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价则加上二者差价的一半；消费者第二次还价要减去二者差价的一半；如此等等。

直至达到双方都能接受的**为止。

有人以为，这样讨价还价的结果其理想的最终**将是原定价的**分割点。是这样的吗？试进行定量分析，并给出结果。

2. 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，假设三个区共有个位置点（）可共选择，且规定：

东区只能在，，中至多选两个；

西区则在，中至少选一个；

南区则在，中至少选一个；

如选用，设备投资估计为万元，每年可获利润估计为万元，问在投资总额不超过万元的条件下，怎样选址可使公司年利润最大？

假设投资总额万元，设备投资估计与每项投资每年获利见下表：

试求此问题的解。

3．设某动物种群划分为年龄跨度为的年龄组，设恰为动物的繁殖周期，每隔时间清点各年龄组的动物数。若某年龄组的动物数增加，就将增加部分捕获。将捕获的动物数与原有动物之比称为捕获系数。

若每个年龄组每次捕获系数都相同，就称为稳定捕获。试建立稳定捕获模型，并给出稳定捕获的条件。

4．众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。

以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。

在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。影响铅球投掷远度的因素有哪些？

建立一个数学模型，将**的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？

应该怎样折中？

哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。

表1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩。

表2 我国优秀运动员的铅球投掷数据。