一、 摘要。
本文是一个如何选拔最优秀的队员和科学合理组队问题的数学模型。此模型我们主要采用的是层次分析法，综合考虑每个学生的指标和整队的技术水平，最终从15名学生中挑选出9名数学建模队员进行参赛，对9名队员进行科学地分组，提出了最佳组队方案，达到更大的获奖几率。此外，我们还给出一些关于队员选拔的建议。
问题二：选拔队员是一个多目标决策的优化问题，我们采用层次分析法，全面考察了15名学生的七项指标，并按照其对目标层的权重的大小进行了排序，挑选出了排名较前的9名学生进行参赛，他们依次是：s1，s2，s6，s15，s8，s9，s10，s14，s4。
为了能够科学地组队，利用数学软件lingo得到最优组合，如下表：
问题3：倘若直接录用一个计算机编程高手，不考虑其他方面的情况，我们以机试知识面为计算机编程高手的主要素质，可以在15名学生中挑选出几名能力相似的同学，他们分别为s3、s11、s13和s15，在问题二的结果中，我们可以发现计算机能力强的学生中，只有s15的综合能力排名能进入前9名，其他都被剔除掉，可见，如果只考虑计算机能力这一点，会影响队伍的总体水平，所以该做法是不可取的。
关键词：层次分析法多目标决策最优组合 lingo
二、 问题重述。
一年一度的全国大学生数学建模竞赛是全国所有高校的重要赛事，如何选拔最优秀的队员和科学合理组队问题是一个首先需要解决的数学模型问题。
我们需要解决以下几个问题：
1.根据你们所了解的数学建模知识，选拔数学建模队员要考察学生的哪些情况？哪些素质是数学建模的关键素质，如何进行考察？
2.根据上表中信息，建立建模队员选拔的数学模型，从中选出9位同学，并组成3个队，使得这三个队具有良好的知识机构。
3.判断直接录用一个计算机编程高用，而不再考察其它情况这种选拔方式是否可取。
三、 问题分析。
1）问题2分析：
问题2是在15名学生中选拔出9名建模队员，需要剔除6名相对较弱的学生，这是一个多目标决策问题，我们主要利用层次分析法，分别算出学生的各个指标（即准则层）对建模队员的选拔（即目标层）的权重，每个学生（即方案层）对各个指标（即准则层）的权重，再综合考察每个学生（即方案层）对建模队员的选拔（即目标层）的权重，进行排名，最后选举出9名入选学生。
2）问题3分析：
在问题2的基础上，我们对问题3进行假设，我们假设机试知识面是队员选拔的主要因素，在15名学生中找出几名机试知识面相近的学生，再与问题2的综合排名进行对比，从而得知直接录取计算机编程高手而不考虑其他方面的是否可取。
四、 模型假设。
1. 假设在选拔中教练组可以做到公平选拔；
2. 假设参赛队员的外部环境相同，竞赛中不考虑其它的随机因素。在比赛过程中队员都能正常发挥自己的水平；
3. 假设竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件，且表中的数据都是客观公正的；
4. 假设在组队后各队的发挥是相互独立的，不受其他组的影响。
五、 符号说明。
目标层o准则层c
方案层p准则层对目标层的权重 w
方案层对准则层的权重 w
方案层对目标层的组合权重 w
一次性指标ci（consistent index）
相应的平均随机一致性指标 ri（random index）
一致性比率cr（consistent ratio）
15员队员的编号。
准则层对目标层的比较矩阵 a
方案层对准则层的比较矩阵
队员i的第j种能力。
六、 模型的建立与求解。
问题一求解：
1. 根据我们所了解的数学建模知识，在选拔数学建模队员时应考察学生的：
1） 数学基础知识（微积分、线性代数、概率论与数理统计）
2） 计算机编程能力（基础知识）
3） 文字写作能力（语言表达）
4） 知识应用能力（实际操作）
5） 思维能力（分析、归纳、连续多次推理能力）
6） 团队精神（协调）
7） 对数学建模的悟性以及兴趣。
8） 对数学建模知识的了解（数学建模软件的使用掌握）
9） 要有不怕苦不怕累的精神。
2. 数学建模对员所需要具备的关键素质：
1） 分析、归纳、解答、总结的能力。
2） 计算机编程能力和对数学建模软件的使用掌握。
3） 语言表达以及文字写作能力。
4） 对数学建模知识的了解。
3. 对数学建模队员需要能力的考察可以通过以下几种方式：
1） 平时上课时的数学成绩，考察数学方面的能力。
2） 计算机系的同学可以参赛过编程成绩找出编程较好的同学。
3） 可以在全校进行一次数学建模**竞赛，让大家谈谈对数学建模的认识，由此可以看出大家的数学建模知识还有写作能力。
4） 可以组织数学建模的模似答辩，以此来考察大家的语言表达能力。
5） 组建数学建模协会，来发掘一些有兴趣的同学。
6） 组织一次开放性的数学建模比赛，以此来选拔比较全面，或者在某一方面有特长的同学。
问题二模型的建立与求解：
1.建立层次结构。
将决策问题分成3个层次：目标层o（数学建模队员的选拔）;准则层c（选拔队员的7个指标），分别记为；方案层p（15名学生），分别记为。
2.确定准则层对目标层的权重。
设要比较各准则对目标o的重要性。对于任意两个因素，用表示和对的影响程度之比。
根据题目给的七项指标，我们首先将各指标量化，为了区分各项条件中的档次差异，确定量化原则如下：
专业按10分计分为：数学8分，计算机8分，电子信息7分，机械6分，化工与材料5分；数学建模的笔试成绩按10计；班级排名按1-15名平均分成5部分，1-3为10分，4-6为9分，7-9为8分，10-12为7分，13-15为6分，没给出班级排名的按5分计；听课次数按每听一次加一分；其他的以1分为底线，考过程序员和过计算机**的加2分，学过matlab跟上过数学建模选修课的加1分；思维敏捷和机试知识面的a、b、c、d等级分别按4分，3分，2分，1分计算。15名学生的量化分数表一如下：
运用层次分析法，如下表：
假设其他对目标的比重为1，其他准则从右到左依次加1得如下比较矩阵：
利用matlab求得最大特征值=7.1605,（**见附录1） 相应的特征向量作归一化得。
1】查书籍得到：
1)计算一次性指标ci（consistent index）
ci=2)查找相应的平均随机一致性指标ri（random index）,如下表，此表给出了1~12阶正反矩阵的平均随机一致性指标。
随机一致性指标。
3)计算一次性比率cr（consistent ratio）cr=
一次性指标：ci＝＝＝0.02675
随机一致性指标ri＝1.32（查表）
一致性比率cr＝ci/ri＝0.02675/1.32＝0.02<0.1,即矩阵a 的一致性是可以接受的。于是w作为准则层c对目标层o的权重向量。
1】比例标度的确定：取1—9的9个等级，而取的倒数（见下表：）
比例尺度值。
3.确定方案层p对准则层c的权重w
每个因素都能影响言论领袖的排序结果，于此可以分别构造p层对准则c（）的比较矩阵。
b=（b）其中，。表示p层第i个元素对的重要性。
显然，所有的均为一致阵。
求得b的最大特征值=0，其任一列向量都是的特征向量，将其归一化得方案层对准则层的权重向量，记作。
w=（w，w，…,w）（k=1，2，……15）
即为方案层p对准则层c的权重，且一致性比率指标为cr==0。
下表即为p-c层的特征向量。
表二。4.确定方案层p对目标层o的权重w
数学建模队员的选拔
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1数学建模队员面试 数学建模队员基本情况表
数学建模队员面试通知。1 填表 队员基本情况表打印后填写？基本信息？2 自己登录教务管理系统查？课程考试成绩？如实填如 3 填写完成其他部分内容，本人签名 4 拿填好的 到3414室面试。5 面试时间 7月12日下午 13日上午 下午，14日上午 下午，上午8点10分 11点45分，下午3点 6点3...