2023年镇海中学数学竞赛模拟试卷（4） 姓名___
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
1．若函数（）的最小正周期为，则在区间上的最大值为。
2．已知集合，，若，则实数的取值范围为。
3．函数零点的个数为。
4．如图，在正方体中，二面角的大小为。
5．在空间四边形中，已知，，，则。
6．已知直线过椭圆：的左焦点且交椭圆于、两点。为坐标原点，若，则点到直线的距离为。
7．已知，若关于的方程（为虚数单位）有实数根，则复数的模的最小值为。
8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为用数字作答）
9．是定义在的函数，若，且对任意，满足，，则。
10．当，，为正数时，的最大值为。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
11．已知数列的前项和（）。
1）求的通项公式；
2）设，是数列的前项和，求正整数，使得对任意均有；
3）设，是数列的前项和，若对任意均有成立，求的最小值。
12．已知（）。
1）若曲线在点处的切线方程为，求，的值；
2）若恒成立，求的最大值。
13．如图，、为双曲线：的左、右焦点，动点（）在双曲线上的右支上。设的角平分线交轴于点，交轴于点。
1）求的取值范围；
2）设过，的直线交双曲线于点，两点，求面积的最大值。
15．求满足下列条件的最小正整数：若将集合任意划分为63个两两不相交的子集（它们非空且并集为集合），，则总存在两个正整数，属于同一个子集（）且，。
解答】考虑模63的剩余类，即将集合划分为如下63个两两不相交的子集：，2，3，…，635分。
则对每一个（）及任意的，（）都有。于是，，。
若，则，，与矛盾。
时，不满足题设条件10分。
另一方面，当时，由知，下列64个数：，，都在集合中。
因此，对将任意划分为63个两两不相交的子集，，，的划分方法，由抽屉原则知，，，这64个数中必有两个数，（）属于同一个15分。
设，，。于是，
，满足题设的条件。
综上可知，满足题设条件的的最小值为201620分。
2023年高中数学竞赛模拟试卷（4）参***。
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
1．若函数（）的最小正周期为，则在区间上的最大值为答案】
解答】∵ 且的最小正周期为。
又时， ，即时，在区间上取最大值。
2．已知集合，，若，则实数的取值范围为答案】
解答】。由，得。
时，。满足。
时，由，得，。满足。
时，由，得，。由满足，得，。综合得，。的取值范围为。
3．函数零点的个数为答案】 1
解答】 ∵时，；时，。
在区间上为减函数，在区间上为增函数。
又时，，；。∴ 函数的零点个数为1。
或：作图考察函数与图像交点的个数。
4．如图，在正方体中，二面角的大小为。
解答】设正方体棱长为1。作于，连结。
由正方体的性质知，。
，为二面角的平面角，且，。∴
二面角的大小为。
或：设、交于点，由，得。
5．在空间四边形中，已知，，，则答案】 7
解答】 以，，为基底向量。则。 ，即。
6．已知直线过椭圆：的左焦点且交椭圆于、两点。为坐标原点，若，则点到直线的距离为答案】
解答】 。显然轴不符合要求。设直线方程为。
由，得 ……
的判别式大于0。设，，则，。
由，得。 ，。点到直线的距离为。
7．已知，若关于的方程（为虚数单位）有实数根，则复数的模的最小值为答案】 1
解答】设（，）是方程的一个实数根。
则。∴ 由②得，，代入①，得，，。
，当且仅当时等号成立。∴ 的最小值为1。（，或，，即）。
8．将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为用数字作答）【答案】 216
解答】 ∵将16分解成4个互不相同的正整数的和有9种不同的方式：，。
符合条件的不同分配方法有种。
9．是定义在的函数，若，且对任意，满足，，则答案】
解答】 ∵对任意， 又，∴
10．当，，为正数时，的最大值为解答】 ∵当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立。
，当且仅当，，即时等号成立。
的最大值为。
注：本题利用待定系数法。将拆成两项和。由，，以及，得。由此得到本题的解法。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
11．已知数列的前项和（）。
1）求的通项公式；
2）设，是数列的前项和，求正整数，使得对任意均有；
3）设，是数列的前项和，若对任意均有成立，求的最小值。
解答】（1）由，得。两式相减，得。
，数列为等比数列，公比。
由又，得，。
由计算可知，，，
当时，由，得当时，数列为递减数列。于是，时，。∴时，。
因此，，。 对任意均有。故。 315分。
对任意均有成立，∴ 的最小值为。
12．已知（）。
1）若曲线在点处的切线方程为，求，的值；
2）若恒成立，求的最大值。
解答】（1）。依题意，有。解得，，。
5分。2）设，则，。
时，定义域，取使得，得。
则与矛盾。 时，不恒成立，即不符合要求10分。
时，（）当时，；当时，。
在区间上为增函数，在区间上为减函数。
在其定义域上有最大值，最大值为。
由，得。15分。
设，则。 时，；时，。
在区间上为增函数，在区间上为减函数。
的最大值为。
当，时，取最大值为。
综合①，②得，的最大值为20分。
14．如图，、为双曲线：的左、右焦点，动点（）在双曲线上的右支上。设的角平分线交轴于点，交轴于点。
1）求的取值范围；
2）设过，的直线交双曲线于点，两点，求面积的最大值。
解答】（1）依题意，，。
直线方程为；直线方程为。即直线方程为；
直线方程为。
由点在的平分线上，得。
由，，以及，得。
。。结合，得。
的取值范围为。 （2）由（1）知，直线方程为。
令，得。故，点坐标为。。
直线方程为。
由，消得 ……
的判别式。
设，，则15分。
由，得，。
设，则， ，即点为时，面积取最大值。
面积的最大值为20分。
15．求满足下列条件的最小正整数：若将集合任意划分为63个两两不相交的子集（它们非空且并集为集合），，则总存在两个正整数，属于同一个子集（）且，。
解答】考虑模63的剩余类，即将集合划分为如下63个两两不相交的子集：，2，3，…，635分。
则对每一个（）及任意的，（）都有。于是，，。
若，则，，与矛盾。
时，不满足题设条件10分。
另一方面，当时，由知，下列64个数：，，都在集合中。
因此，对将任意划分为63个两两不相交的子集，，，的划分方法，由抽屉原则知，，，这64个数中必有两个数，（）属于同一个15分。
设，，。于是，
，满足题设的条件。
综上可知，满足题设条件的的最小值为201620分。
2023年镇海中学高中数学竞赛模拟试卷 4
2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷 4 姓名 一 填空题 共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上 1 若函数 的最小正周期为，则在区间上的最大值为。2 已知集合，若，则实数的取值范围为。3 函数零点的个数为。4 如图，在正方体中，二面角的大小为。5 在空间四边形中，已知，则...
高中数学竞赛
高一思维训练班。集合部分。例1 集合a，b是i 的子集，1 若，求有序集合对 a，b 的个数 2 求i的非空真子集的个数。例2 给定集合的个子集 满足任何两个子集的交集非空，并且再添加i的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。例3 求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的数的个数。例4 s...
高中数学竞赛答案
1.过椭圆c 外一点。a m，0 作一直线l交椭圆于p q两点，又q关于x轴对称点为，连结交x轴于点b。1 若，求证 2 求证 点b为一定点。20 设分别为椭圆的左 右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。求椭圆的方程 设为右准线上不同于点 4，0 的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点...