方法精要] 整体思想就是在研究和解决数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简，同时又能培养学生思维的灵活性．
所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进。
行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法．
题型一整体处理问题的策略在函数中的应用。
例1 若函数y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则f(2x－1)的定义域为___
破题切入点本题是抽象函数的定义域问题，这类问题的解决要有整体意识，把2x－1作为一个整体，其取值范围与y＝f(x)中的x取值范围相同．解决这类问题要注意两个问题，①等范围代换，即将括号内的式子作为一个整体考虑，取值范围相同；②求定义域问题就是求自变量的取值范围．
答案 [0,1)
解析由y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则－1≤2x－1<1，解得0≤x<1.
所以f(2x－1)的定义域为[0,1)．
题型二整体处理问题的策略在立体几何中的应用。
例2 长方体的表面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的对角线长．
破题切入点要求长方体对角线长，只需求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可．
解设此长方体的长、宽、高分别为x、y、z，对角线长为l，则由题意得。
由4(x＋y＋z)＝24，得x＋y＋z＝6，从而由长方体对角线性质得。
l＝＝＝5，所以长方体的对角线长为5.
题型三整体处理问题的策略在三角函数中的应用。
例3 已知2sinθ－cosθ＝1，求的值．
破题切入点设t＝可得sinθ、cosθ的方程，与已知条件2sinθ－cosθ＝1联立，即可用t的代数式表示sinθ、cosθ，再根据sin2θ＋cos2θ＝1求得t的值．
解设t＝，则(1－t)sinθ＋(1＋t)cosθ＝t－1，联立。
解得。又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以()2＋()2＝1，解得t＝0或t＝2.
所以所求的值为0或2.
总结提高用整体思想解题过程简洁明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时才能使复杂问题简单化，优化解题过程，提高解题的速度．强化整体意识，灵活选择恰当的整体思想方法，可以大大提高学习效率．
1．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
a．(0b．[0，＋∞
c．(1d．[1，＋∞
答案 a解析因为3x＋1>1，所以log2(3x＋1)>0，故选a.
2．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式是( )
a．f(x)＝x－1(x≥1) b．f(x)＝x2－1(x≥0)
c．f(x)＝x2－1 d．f(x)＝x2－1(x≥1)
答案 d解析令t＝＋1，则t≥1，且＝t－1，x＝(t－1)2，f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．
3．已知tan(α＋tan(β－则tan(α＋的值为( )
a. b. c. d.
答案 c解析因为tan(α＋tan(β－所以tan(α＋tan
4．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是( )
a．f(x)＝x＋ b．f(x)＝－2x＋
c．f(x)＝－x＋ d．f(x)＝－x＋
答案 c解析 f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，①
把①中的x换成－x得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，②
由①②解得：f(x)＝－x＋.
5．长方体三个面的面积分别是2,6,9，则长方体的体积是( )
a．6b．3c．11d．12
答案 a解析设长方体有公共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则所以(abc)2＝2×6×9，所以abc＝6.
6．设－＝m，则等于( )
a．m2－2 b．2－m2
c．m2＋2 d．m2
答案 c解析因为－＝m，所以(－)2＝m2，所以a－2＋a－1＝m2，即a＋a－1＝m2＋2，所以＝a＋a－1＝m2＋2.
7．已知函数f(2x)的定义域为[－1,2]，则函数y＝f[log3(x＋2)]的定义域___
答案 [－2,79]
解析因为函数f(2x)的定义域为[－1,2]，即－1≤x≤2，∴≤2x≤4，≤log3(x＋2)≤4，≤x＋2≤81，－2≤x≤79.
8．设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是___
答案 解析因为4x2＋y2＋xy＝1，所以(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－×2xy＝1，所以(2x＋y)2－()2≤1，当且仅当2x＝y时取“＝”
解之得：(2x＋y)2≤，即－≤2x＋y≤.
所以2x＋y的最大值为。
9．设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
解令f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，所以4a－2b＝(m＋n)a－(m－n)b，所以解得。
所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
因为1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，所以5≤f(－2)≤10.
10．求函数y＝－lg2x＋6lgx的定义域和值域．
解要使函数y＝－lg2x＋6lgx有意义，须满足x>0，即函数的定义域为(0，＋∞
设lgx＝t，因为函数的定义域为(0，＋∞所以t∈r.
y＝－t2＋6t－9＋9＝－(t－3)2＋9，t∈r，∴y≤9.
函数的值域是(－∞9]．
11．已知cosα－sinα＝，且π<α求的值．
解因为cosα－sinα＝，所以1－2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝，又因为π<α所以sinα＋cosα＝－
－，所以。
12．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈r)为偶函数．
1)求k的值；
2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围．
解 (1)由题意得f(－x)＝f(x)，即log4＝2kx，从而4(2k＋1)x＝1在x∈r上恒成立，即k＝－.
2)由题原方程化为＝4＝2x且a·2x－a>0，即：令2x＝t>0有。
函数y＝(1－a)t2＋at＋1的图象过定点(0,1)，(1,2)如图所示：
若方程①仅有一正根，只有如图的三种情况，可见：a>1，即二次函数y＝(1－a)t2＋at＋1的开口向下，且该正根都大于1，满足不等式②，当二次函数y＝(1－a)t2＋at＋1的开口向上，只能是与x轴相切的时候，此时a<1且δ＝0，即a＝－2－2也满足不等式②.
综上：a>1或a＝－2－2.
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