第4章第4讲。
一、选择题。
1．把一条长为100 cm的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，则分法为( )
a．10,90 b．30,70
c．40,60 d．50,50
解析] 设一段长为x，另一段长为100－x，s＝()2＋()2＝[x2＋(100－x)2]
(2x2－200x＋10000)，s′＝(4x－200)令s′＝0，得x＝50.选d.
答案] d2．圆柱的表面积为s，当圆柱体积最大时，圆柱的高为( )
a. b.
c. d．3π
解析] 设圆柱底面半径为r，高为h，两底面积和为2πr2.
s＝2πr2＋2πrh，h＝
又v＝πr2h＝，v′＝，令v′＝0
得s＝6πr2，h＝2r，r＝ ∴h＝2＝，选c.
答案] c3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积为最大，则高为( )
a. cm b. cm
c. cm d. cm
解析] 设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为v＝πx(202－x2)(0当00，当所以当x＝时，v取最大值，选d.
答案] d4．内接于半径为r的球并且体积最大的圆锥的高为( )
a．r b．2r
c. r d. r
解析] 设圆锥高为h，底面半径为r，则r2＝(b－r)2＋r2，∴r2＝2rh－h2，v＝r2h＝h(2rh－h2)＝h2－h3，v′＝πrh－πh2，令v′＝0，h＝r.
答案] c5．某公司租地建仓库，每月土地租用费y1与仓库到车站的距离成反比．而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果要在距离车站10公里处建仓库，这两项的费用y1，y2，分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
a．5公里处 b．4公里处。
c．3公里处 d．2公里处。
答案] a6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r与年产量x的关系是r＝r(x)＝，则总利润最大时，每年生产的产品是( )
a．100 b．150
c．200 d．300
解析] 由题意得，总成本函数为。
c＝c(x)＝20000＋100x，所以总利润函数为。
p＝p(x)＝r(x)－c(x)
而p′(x)＝
令p′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，p最大．
答案] d二、填空题。
7．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用，要使宾馆利润最大，房间应定价___元．
解析] 设每个房间每天的定价为x元，那么宾馆利润。
l(x)＝(50－)(x－20)＝－x2＋70x＋1360，令l′(x)＝－x＋70＝0，解得x＝只有一个极值，且为极大值，所以x＝350为最大值点．
答案] 350
8．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m，则当高为___米时，容器的面积最大．
解析] 设容器的高为x米，则v＝x(x＋0.5)(3.2－2x)，v′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解15x2－11x－4＝0，x＝1(x＝－舍去)．
答案] 19．如右图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为___时，其容积最大．
分析] 本小题主要考查正六棱柱的概念与性质，以及函数的相关知识，考查学生运用导数知识解决实际问题的能力．
解析] 设被切去的全等四边形的一边长为x(如图所示)则正六棱柱的底面边长为1－2x，高为x，所以正六棱柱的体积v＝6×(1－2x)2×x(0＜x＜)，化简得v＝(4x3－4x2＋x)．
又v′＝(12x2－8x＋1)，由v′＝0，得x＝或x＝.
当x∈(0，)时，v′＞0，v是增函数；
当x∈(，时，v′＜0，v是减函数．
当x＝时，v有最大值，正六棱柱的底面边长为。
答案] 10．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝1200＋x2(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为___件时总利润最大．
答案] 25
三、解答题。
11．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为r(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为c(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数mf(x)定义为mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．
1)求利润函数p(x)及边际利润函数mp(x)；(提示：利润＝产值－成本)
2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
3)求边际利润函数mp(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
解] (1)p(x)＝r(x)－c(x)
－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈n*，且1≤x≤20)；
mp(x)＝p(x＋1)－p(x)
－30x2＋60x＋3275(x∈n*，且1≤x≤19)．
2)p′(x)＝－30x2＋90x＋3240
－30(x－12)(x＋9)，x＞0，∴p′(x)＝0时，x＝12，当0＜x＜12时，p′(x)＞0，当x＞12时，p′(x)＜0，x＝12时，p(x)有最大值．
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
3)mp(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305.
所以，当x≥1时，mp(x)单调递减，所以单调减区间为[1,19]，且x∈n*.
mp(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少．
12．(2008·江苏)某地有三家工厂，分别位于矩形abcd的顶点a，b及cd的中点p处，已知ab＝20 km，cb＝10 km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形abcd的区域上(含边界)，且a，b与等距离的一点o处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道ao，bo，op，设排污管道的总长为y km.
1)按下列要求写出函数关系式：
设∠bao＝θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；
设op＝x(km)，将y表示成x的函数关系式．
2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
解] 本小题主要考查函数最值的应用．
1)①由条件知pq垂直平分ab，若∠bao＝θ(rad)，则oa＝＝，故ob＝，又op＝10－10 tanθ，所以y＝oa＋ob＋op＝＋＋10－10tanθ，所求函数关系式为y＝＋10(0＜θ＜
若op＝x(km)，则oq＝10－x，所以oa＝ob＝＝
所求函数关系式为y＝x＋2 (0＜x＜10)
2)选择函数模型①，y′＝
令y′＝0得sinθ＝，因为0＜θ＜所以θ＝，当θ∈(0，)时，y′＜0，y是θ的减函数；当θ∈(时，y′＞0，y是θ的增函数，所以当θ＝时，ymin＝10＋10.这时点p位于线段ab的中垂线上，且距离ab边km处．
亲爱的同学请写上你的学习心得。
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